zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
korni32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 08:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: korni32 » 3 wrz 2011, o 09:11

Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu zadań? Mam z nimi trochę kłopotu:
1) Czy przestrzeń funkcji C[-1,1] z normą \(\displaystyle{ ||f|| = ( \int_{0}^{1}|f(x)|^3 dx )^{\frac{1}{3}}}\) jest przestrzenią unormowaną? Czy jest p.Banacha? Czy jest ośrodkowa?
2) \(\displaystyle{ Tf = e^{-x^2}f(7+2x)}\) jest operatorem takim, że \(\displaystyle{ T: L^2(R) \rightarrow L^2(R)}\), policzyć jego normę.

Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu chociaż części...

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: fon_nojman » 3 wrz 2011, o 10:24

To po kolei.

1) Sprawdzamy czy dana funkcja jest normą.
\(\displaystyle{ \|f\|=0 \Rightarrow f=0}\) - korzystamy z ciągłości \(\displaystyle{ f.}\)
\(\displaystyle{ \|\alpha f\|=|\alpha|\|f\|}\) - oczywiste.
Warunek trójkąta - korzystamy z nierówności Minkowskiego.

brzoskwinka1

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: brzoskwinka1 » 3 wrz 2011, o 11:55

Dla \(\displaystyle{ f\in C[a,b], p \ge 1}\) oznaczmy \(\displaystyle{ ||f||_p =\left( \int_{a}^{b} |f(t)|^p dt\right)^{\frac{1}{p}}}\) oraz \(\displaystyle{ ||f||_{\infty} =\sup_{s\in [a,b]} |f(s)|}\)

Można łatwo pokazać, że
1. Przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest przestrzenią Banacha.
2. Z Twierdzenia Weierstrassa wynika, że przestrzeń unormowana \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_{\infty} )}\) jest ośrodkowa.
3. Norma \(\displaystyle{ ||\cdot ||_p}\) jest istotnie słabsza od normy \(\displaystyle{ ||\cdot ||_{\infty}}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ C[a,b]}\)

Zatem z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) oraz twierdzenia o wykresie domkniętym wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) nie jest zupełna. Natomiast z \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ (C[a,b] ,||\cdot ||_p )}\) jest ośrodkowa.

korni32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 08:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: korni32 » 3 wrz 2011, o 16:38

A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: Piotr Pstragowski » 3 wrz 2011, o 20:48

korni32 pisze:A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...
Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) jest "duże" w otoczeniu zera i weź ciąg funkcji o całce równej 1 i zerowych poza coraz mniejszymi otoczeniami zera. Nie mam teraz pojęcia, czy istnieje jedna funkcja, która dokładnie - jak to ująłeś - "wybija" normę.

Edit: Nie doczytałem, że ten operator jeszcze składa \(\displaystyle{ f}\) z przekształceniem afinicznym, także musisz to trochę zmodyfikować. Ale pomysł jest ten sam.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zad z funkcjonalnej - norma i ośrodkowość

Post autor: fon_nojman » 4 wrz 2011, o 11:40

korni32 pisze:A może ktoś wie, jak policzyć tę normę? Bo mi niestety udaje się tylko co najwyżej ograniczyć, ale potem nie potrafię znaleźć takiej funkcji f(x), przy której norma jest wybijana...
Jakie wyszło ograniczenie?

ODPOWIEDZ