Granice podwójne

kowal99 · Post autor: **kowal99** » 2 wrz 2011, o 19:03

Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań

1.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y}{x-y}}\) granica nie istnieje ponieważ...

2.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,4)} \frac{x}{\tg(xy)}=}\) ... ponieważ ...

Arst · Post autor: **Arst** » 2 wrz 2011, o 19:14

W pierwszym weź ciągi: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2} , \frac{3}{n^2} \right)}\)

W drugim zdaje się, że wystarczy wziąć takie coś: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n}, 4+\frac{1}{n}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}, 4+\frac{4}{n^2}\right)}\)

kowal99 · Post autor: **kowal99** » 2 wrz 2011, o 20:07

Nie bardzo rozumiem...Jakbyś mógł dokładnie wytłumaczyć bo mam lekkie problemy z tymi granicami podwójnymi

Arst · Post autor: **Arst** » 2 wrz 2011, o 20:57

Wytłumaczę na przykładzie pierwszym. Zauważ, że oba podane przeze mnie ciągi są zbieżne do 0. Jeśli w miejsce x i y funkcji wstawisz odpowiednie ciągi \(\displaystyle{ (x_n,y_n)=\left( \frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right)=\left( \frac{1}{n^2} , \frac{3}{n^2} \right)}\), to otrzymasz, przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) pewną granicę. Podobnie postępujesz z drugim ciągiem i przechodzisz do granicy. Fakt, że te granice będą różne, świadczy o tym, że granica podwójna nie istnieje.