Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
cinek4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 wrz 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: cinek4 » 2 wrz 2011, o 18:42

Witam
Bardzo prosze o pomoc w przedstawieniu tej liczby w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \frac{ (\sqrt{3}+i)^{17} }{2-2i}}\)

Z gory dziekuje

sonicwork
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 00:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: sonicwork » 2 wrz 2011, o 19:29

najpierw musisz zamienić liczbę w potędze na postać trygonometryczną i spotęgować (wszystko według wzoru) a potem zamieniasz liczbę z mianownika na taka sama postać i dzielisz obie według wzoru
znasz te wzory? bo od tego trzeba zacząć a przykład jest bajecznie prosty

Awatar użytkownika
Iron_Slax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: Iron_Slax » 3 wrz 2011, o 19:26

Witam, zrobiłem na szybko to zadania. Jeśli ktoś zna poprawny wynik to proszę sprawdzić czy wyszedł mi prawidłowy. Liczby zespolone dopiero zaczynam a chce się dowiedzieć czy dam rade się ich nauczyć.

Tutaj moja końcowa odpowiedź.

\(\displaystyle{ z=\frac{2^{17}}{\sqrt{8}} \left( \cos \frac{7}{12} \pi + i \sin \frac{7}{12} \pi \right)}\)

Jeśli gdzieś wynik się nie zgadza proszę mi powiedzieć spróbują znaleźć błąd.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2011, o 19:30 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 3 wrz 2011, o 20:28

Jest źle. Skąd wziąłeś taki argument tej liczby zespolonej?

Awatar użytkownika
Iron_Slax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: Iron_Slax » 3 wrz 2011, o 20:51

\(\displaystyle{ z_{1}= \left( \sqrt{3}+i \right) ^{17} \\ z_{2}=2-2i \\ |z_1|=2 \\ \cos \varphi = \frac {\sqrt{3}}2 \\ \sin \varphi = \frac {1}{2} \rightarrow \varphi = \frac {\pi}{6} \\ \text{(1) } z_{1} = \left[ 2 \left( \cos \frac {\pi}{6} + i\sin\frac {\pi}{6} \right) \right] ^{17} \\ \text{(2) } z_{1} = 2^{17} \left( \cos \frac {17\pi}{6} + i\sin\frac {17\pi}{6} \right) \\ \text{(3) } z_{1} = 2^{17} \left( \cos \frac {5\pi}{6} + i\sin\frac {5\pi}{6} \right) \\ \text{(4) } |z_2|=2\sqrt{2} \\ \cos \varphi = \frac {\sqrt{2}}2 \\ \sin \varphi = \frac {-\sqrt{2}}2 \rightarrow \varphi = -\frac {\pi}{4} \\ \text{(5) } z_{2}=\sqrt{8} \left( \cos \frac {-\pi}{4} + i\sin\frac {-\pi}{4} \right)}\)


I teraz korzystam ze wzoru na iloraz liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac {2^{17}}{\sqrt{8}} \left( \cos \left( \frac {5\pi}{6} -\frac{-\pi}{4}} \right) + i\sin \left( \frac {5\pi}{6} -\frac{-\pi}{4}} \right)\right)\\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac {2^{17}}{\sqrt{8}} \left( \cos \left( \frac {8\pi}{12} \right) + i\sin \left( \frac {8\pi}{12} \right)\right)}\)
Zrobiłem drugi raz, za pierwszym razem źle obliczyłem fi w drugiej liczbie. Ale argument dalej się nie zmienił. Jak byś mógł to wskaż mi w którym działaniu popełniłem błąd.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2011, o 21:00 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 3 wrz 2011, o 21:01

\(\displaystyle{ \frac {5\pi}{6} -\frac{-\pi}{4}} \neq \frac {8\pi}{12}}\)

Awatar użytkownika
Iron_Slax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: Iron_Slax » 3 wrz 2011, o 21:04

fakt, ale to błąd przy przepisywaniu. Nie można już edytować. Czy po za tą "literówką/cyfrówką" jest coś jeszcze źle?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 3 wrz 2011, o 21:18

Nie. reszta wygląda Ok.
Możesz jeszcze uprościć moduł \(\displaystyle{ \frac{|z_1|}{|z_2|}}\)

cinek4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 wrz 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: cinek4 » 3 wrz 2011, o 22:57

Czyli poprawna odpowiedzia jest

\(\displaystyle{ \sqrt{ 2^{31} } \left( \cos \frac{13 \pi }{12}+i\sin \frac{13 \pi }{12} \right)}\)

Tak?
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2011, o 23:01 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Postac trygonometryczna liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 3 wrz 2011, o 23:02

Tak.

ODPOWIEDZ