równanie, problem z rozwiązaniem

[Lukasz1508]

Mam problem z następującą różniczką:
\(\displaystyle{ (x+y)\mbox{d}x+x\mbox{d}y=0}\)

Jeżeli ktoś potrafi rozwiązać, to z góry dziękuję.

[lukasz1804]

Szkic rozwiązania

Niech \(\displaystyle{ P(x,y)=x+y, Q(x,y)=x}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=1=\frac{\partial Q}{\partial x}}\), więc równanie jest zupełne.
Mamy \(\displaystyle{ F(x,y)=\int P(x,y) dx=\frac{1}{2}x^2+xy+\varphi(y)}\) i z uwagi na równość \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y}=Q}\) dostajemy \(\displaystyle{ x+\varphi'(y)=x}\), skąd łatwo widać, że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest funkcją stałą. Można przyjąć, że stała ta jest równa zeru.
Ogół rozwiązań stanowią zatem funkcje \(\displaystyle{ f}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ F(x,f(x))=c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest dowolną stałą.

[Lukasz1508]

jak rozumiem, to jest ostateczny wynik.

[Crizz]

W zasadzie tak, chociaż zwykle, jeśli się da, to przedstawiamy odpowiedź w postaci \(\displaystyle{ f(x)=..}\).

[[pawciu]]

Czy można rozwiązać to równanie jako jednorodne \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=f( \frac{y}{x})}\) ??

[lukasz1804]

[pawciu], jasne, że można. Dziękuję za uwagę.