Równanie różniczkowe 2 rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
elgreen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 wrz 2011, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak

Równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: elgreen » 2 wrz 2011, o 16:52

Witam,

Chciałbym dowiedzieć się z jakim typem równania mam do czynienia i poznać sposób jego rozwiązania.
Ostatni kontakt z równaniami różniczkowymi miałem co najmniej 5 lat temu, więc mam jakieś mgliste pojęcie, lecz niestety nie udało mi się dojść do wyniku, a dalsze próby zajmują mi dużo czasu. Co gorsza nie mam dostępu do literatury i notatek ze studiów.
Równanie wywodzi się z zależności naprężeń od odkształceń (uogólnione prawo Hooke'a) zastosowanych przy rozpatrywaniu teorii połączeń wciskowych.

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d ^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\mbox{d }u}{\mbox{d}r}-\frac{u}{ r^{2}}=0}\)

Rozumiem też, iż stosując wzór skróconego dzielenia, można uprościć zapis tego równania do:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d ^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}r} \left( \frac{u}{r} \right) =0}\)

Poszukiwany jest wynik w formie \(\displaystyle{ u=f(r)}\)

Z góry dziękuje za wszelkie próby.
Ostatnio zmieniony 2 wrz 2011, o 16:54 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: Lorek » 2 wrz 2011, o 19:33

wzór skróconego dzielenia
Ciekawa nazwa. Jak pomnożysz wyjściowe równanie przez \(\displaystyle{ r^2}\) to masz równanie Eulera.

elgreen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 wrz 2011, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak

Równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: elgreen » 6 wrz 2011, o 17:11

Po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ r^{2}}\) otrzymuję takie równanie:
(1) \(\displaystyle{ r^{2}\frac{\mbox{d^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+r\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}r}-u=0}\)

upraszczając zapis:
(2) \(\displaystyle{ r^{2}u^{\prime\prime}+ru^\prime -u=0}\)

podstawiając
(3) \(\displaystyle{ u\left(r\right)=y\left(\ln |r|\right)}\) (podstawienie znalezione http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wna ... owe_Eulera )

tym sposobem:
(4) \(\displaystyle{ u^\prime \left(r\right)=y^\prime \left(\ln |r|\right) \cdot \left(\ln |r|\right)^\prime =\frac{1}{r}y^\prime}\)
(5) \(\displaystyle{ u^{\prime\prime}\left(r\right)=y^{\prime\prime}\left(\ln |r|\right) \cdot \left(\ln |r|\right)^\prime + \left( \frac{1}{r}\right) ^\prime \cdot y^\prime \left(\ln |r|\right) =y^{\prime\prime}\left(\ln |r|\right) \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime \left(\ln |r|\right)=\frac{1}{r^{2}} \cdot y^{\prime\prime}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime}\)

wstawiając (4) i (5) do (2) uzyskujemy:
(6) \(\displaystyle{ r^{2} \cdot \left[ \frac{1}{r^{2}} \cdot y^{\prime\prime}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime \right]+r \cdot \left[ y^\prime \cdot \frac{1}{r}\right]-y}\) gdzie "r" się skraca i w ostateczności wychodzi:

(7) \(\displaystyle{ y^{\prime\prime}-y=0}\) (równanie liniowe, jednorodne, o stałych współczynnikach \(\displaystyle{ a _{2}=1, a_{0}=-1}\) , którego równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ s^{2}-1}\) ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ s_{1}=1}\) \(\displaystyle{ s_{2}=-1}\)

Na podstawie powyższego równania charakterystycznego wnioskuje się, że rozwiązaniem równania (7) jest funkcja
(8) \(\displaystyle{ y=C_{1} \cdot e^{s_{1} \cdot r}+C_{2} \cdot e^{s_{2} \cdot r}=C_{1} \cdot e^{r}+C_{2} \cdot e^{-r}}\)

zapisując dokladniej rozwiązaniem ogólnym równ. (7) jest:
(9) \(\displaystyle{ y\left(\ln |r|\right)=C_{1} \cdot e^{r}+C_{2} \cdot e^{-r}}\)

I tu się pogubilem (a właściwie juz równ. (3) jest dla mnie abstrakcyjne), ile teraz wynosi \(\displaystyle{ u\left(r\right)}\)?
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 20:01 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 17:22

Do (8) jest ok, ale (9) powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y(r)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\)
i teraz musisz znaleźć \(\displaystyle{ u(r)=y(\ln |r|)}\) czyli we wzorze na \(\displaystyle{ y}\) zamiast \(\displaystyle{ r}\) musisz wstawić ten logarytm.

Swoją drogą ja w równaniach Eulera wolę podstawienie \(\displaystyle{ u(r)=r^s}\)

elgreen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 wrz 2011, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak

Równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: elgreen » 7 wrz 2011, o 16:46

Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ y\left(r\right)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\) zamiast \(\displaystyle{ y\left(\ln |r|\right)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\)
W takim razie \(\displaystyle{ u\left(r\right)=y\left(\ln |r|\right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ u\left(r\right)=C_{1}e^{\ln |r|}+C_{2}e^{-\ln |r|}}\) ?

To jest ostateczny wynik (rozwiązanie ogólne)? Czy można coś jeszcze zdziałać obustronnie logarytmując (musiał bym sobie logarytmy przypomnieć )
Lorek pisze:Swoją drogą ja w równaniach Eulera wolę podstawienie u(r)=r^s
Można robić dowolne wygodnie różniczkowalne dla nas podstawienia? Jedyne kryterium podstawienia to, by była to funkcja, która przy różniczkowaniu wyruguje nam niewygodne zmienne? Niezależnie od podstawionej funkcji, wynik powinien być ten sam?-- 13 wrz 2011, o 17:16 --Znalazłem w książce rozwiązanie takiego równania i wygląda inaczej...

rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ u\left(r\right)=C_{1}r}+\frac{C_{2}}{r}}\)

Czy jest sposób na przejście z mojego wyniku na ten otrzymany w książce?
Czy też jest to inny wynik?
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 20:01 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ