Obliczanie pierwiastków
: 2 wrz 2011, o 16:29
Przykład:
\(\displaystyle{ z ^{4} =i ^{5} (1-i) ^{3}}\)
Rozbijam na dwie liczby zespolone:
\(\displaystyle{ i ^{5}\\
(1-i) ^{3}}\)
Obliczam:
\(\displaystyle{ i ^{5} = 1 ^{5} \left( \cos \frac{5 \pi }{2} + i \cdot \sin \frac{5 \pi }{2} \right)}\)
Przy drugiej części nie jestem pewna konta \(\displaystyle{ \varphi}\)
Bo:
\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{\sqrt{2} }{2} \\
\sin\varphi=- \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
To może być kąt \(\displaystyle{ -45^{\circ} = - \frac{ \pi }{4}}\)
Lub kąt \(\displaystyle{ 315 ^{\circ}= \frac{ 7 \cdot \pi }{4}}\)
Który z nich powinno się stosować? Bo niestety w moich notatkach jest to różnie.
Najgorsze jest to, że obiema metodami juz pierwiastek zerowego rzędu wychodzi jak dla mnie bez sensu. Biorę kąt \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4}\\
\left( 1-i \right) ^{3}= \sqrt{2} ^{3} \left( \cos \left( - \frac {3 \cdot \pi }{4} + i \cdot \sin \left( -\frac{ 3 \cdot \pi }{4} \right) \right)}\)
Mnożę obie liczby:
\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) ^{3} \cdot i ^{5} = 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{4}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{4} \right)}\)
Pierwiastek pierwszy, zerowego stopnia:
\(\displaystyle{ z _{0} = \sqrt [4] {2 \sqrt{2} } \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{8}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{8} \right)}\)
Jak obliczyć cosinus lub sinus tego kąta w \(\displaystyle{ z_{0}}\)? Gdzie jest błąd? Czy ma znaczenie który kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) stosujemy, ujemny czy dodatni?
\(\displaystyle{ z ^{4} =i ^{5} (1-i) ^{3}}\)
Rozbijam na dwie liczby zespolone:
\(\displaystyle{ i ^{5}\\
(1-i) ^{3}}\)
Obliczam:
\(\displaystyle{ i ^{5} = 1 ^{5} \left( \cos \frac{5 \pi }{2} + i \cdot \sin \frac{5 \pi }{2} \right)}\)
Przy drugiej części nie jestem pewna konta \(\displaystyle{ \varphi}\)
Bo:
\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{\sqrt{2} }{2} \\
\sin\varphi=- \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
To może być kąt \(\displaystyle{ -45^{\circ} = - \frac{ \pi }{4}}\)
Lub kąt \(\displaystyle{ 315 ^{\circ}= \frac{ 7 \cdot \pi }{4}}\)
Który z nich powinno się stosować? Bo niestety w moich notatkach jest to różnie.
Najgorsze jest to, że obiema metodami juz pierwiastek zerowego rzędu wychodzi jak dla mnie bez sensu. Biorę kąt \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4}\\
\left( 1-i \right) ^{3}= \sqrt{2} ^{3} \left( \cos \left( - \frac {3 \cdot \pi }{4} + i \cdot \sin \left( -\frac{ 3 \cdot \pi }{4} \right) \right)}\)
Mnożę obie liczby:
\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) ^{3} \cdot i ^{5} = 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{4}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{4} \right)}\)
Pierwiastek pierwszy, zerowego stopnia:
\(\displaystyle{ z _{0} = \sqrt [4] {2 \sqrt{2} } \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{8}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{8} \right)}\)
Jak obliczyć cosinus lub sinus tego kąta w \(\displaystyle{ z_{0}}\)? Gdzie jest błąd? Czy ma znaczenie który kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) stosujemy, ujemny czy dodatni?