całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

całka podwójna

Post autor: Anka20 » 2 wrz 2011, o 14:15

Jak obliczyć?
\(\displaystyle{ \iint_{D} \left( x ^{2} +y ^{2} \right) \,\text dx\,\text dy}\),
gdzie \(\displaystyle{ D}\) okreslony jest nierownosciami \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y, \ x ^{2}+y ^{2} \ge 2x, \ x \ge 0}\)

Narysowałam wykres ale nie wiem jak wyznaczyc \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 20:01 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

całka podwójna

Post autor: miki999 » 2 wrz 2011, o 14:17

W sensie, nie wiesz jak wyznaczyć granice całkowania, czy co?

Hah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 29 sie 2011, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wwa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

całka podwójna

Post autor: Hah » 2 wrz 2011, o 14:31

Jeżeli narysowaleś wykres to zobacz ktora funkcja zamyka obszar z góry, a która z dołu.

29617.htm

\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ \le y \le}\) Musisz tylko przekształcić funkcje do postaci y=jakiś tam x - (z równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) bedziesz miała górną granice - analogicznie dolna. Jako wskazówka: obszar miesci sie miedzy punktami (0.0) (1.1) - 2 parabole obrócone względem siebie o 90 stopni daja taki sam obszar

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

całka podwójna

Post autor: Anka20 » 2 wrz 2011, o 17:50

\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) z tego nie bedzie dolna? i jak tu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y}\) wyznaczyc \(\displaystyle{ y}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 2 wrz 2011, o 19:51

Pomyśl o współrzędnych biegunowych.

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

całka podwójna

Post autor: Anka20 » 4 wrz 2011, o 13:48

To bedzie tak?
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} \\ \\ 2 \sin \varphi \le \rho \le 2 \cos \varphi}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 15:54

Granice dla \(\displaystyle{ \rho}\) odwrotnie i będzie dobrze.

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

całka podwójna

Post autor: Anka20 » 4 wrz 2011, o 16:45

a no tak
mógłbys sprawdzic calke?

\(\displaystyle{ \iint_{D}(x ^{2}+y ^{2}) dx dy = \iint _{\Delta} (\rho ^{2} \cos ^{2} \varphi + \rho ^{2} \sin ^{2} \varphi) \cdot \varphi \ d\rho d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \int_{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} \rho ^{3} d\rho \right] d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \frac{\rho ^{4} }{4} \right] _{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} d\varphi = 2 \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } (\sin ^{2} \varphi + \cos ^{2} \varphi)(\sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi) \ d\varphi =}\)

nie wiem co dalej z tym zrobic?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 16:56

Pierwszy czynnik to oczywiście jedynka trygonometryczna, a drugi:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi = - \left ( \cos ^{2}-\sin ^{2} \varphi \right ) = - \cos 2 \varphi}\)

ODPOWIEDZ