Praca po drodze łączącej punkty

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
prezinfa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 18 lis 2010, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pol
Podziękował: 4 razy

Praca po drodze łączącej punkty

Post autor: prezinfa » 1 wrz 2011, o 21:54

Witam, mam takie zadanko

Mam pole wektorowe

\(\displaystyle{ \vec{F}= \left[ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}; \frac{2}{y} - \frac{x}{y ^{2} } \right]}\)

i mam obliczyć pracę po drodze łączącej punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,1\right)}\) i \(\displaystyle{ B\left( 2,2\right)}\)

Nie mieliśmy tego na zajęciach i nie wiem jak to policzyć.
Nie wiem czy dobry dział, jeśli nie to proszę moda o przeniesienie.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18762
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3727 razy

Praca po drodze łączącej punkty

Post autor: szw1710 » 1 wrz 2011, o 22:31

Musisz najpierw sprawdzić warunek potencjalności pola. Jeśli \(\displaystyle{ F=[P,Q]}\), to warunkiem tym jest \(\displaystyle{ Q'_x=P'_y.}\) Trzeba tak zrobić, gdyż droga całkowania nie jest jasno określona. Trzeba dodatkowo założyć, że na drodze całkowania nie leżą punkty osi układu (zera mianowników).

Z warunku potencjalności (jeśli zachodzi) wnosimy niezależność całki od drogi całkowania. Całka zależy więc tylko od punktów końcowych.

Całkę można policzyć metodą potencjałową lub "normalnie", przyjmując za drogę całkowania odcinek \(\displaystyle{ AB.}\) Potencjał łatwo znaleźć z definicji. To taka funkcja \(\displaystyle{ V(x,y)}\), że \(\displaystyle{ V'_x=P}\) oraz \(\displaystyle{ V'_y=Q.}\) Obliczenia sobie daruję, powiem tylko, że tutaj \(\displaystyle{ V(x,y)=\ln x+2\ln y+\frac{x}{y}}\) (sprawdź!). Korzystamy teraz ze wzoru:

\(\displaystyle{ W=\int_{AB}Pdx+Qdy=V(B)-V(A)=V(2,2)-V(1,1)=\dots}\)

ODPOWIEDZ