Dla jakich parametrów jest f(x) różniczowalna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Dla jakich parametrów jest f(x) różniczowalna

Post autor: skolukmar » 1 wrz 2011, o 21:09

Prosiłbym o pomoc w zadaniu:

Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A, B, C}\) funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{e^{4x} + Ax+B}{x^2} \ \ \ \ x \neq 0 \\ C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 0\end{cases}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ 0}\).

Mój szkic rozwiązania: Po pierwsze musi zachodzić ciągłość:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{e^{4x} + Ax+B}{x^2}}\) ma być skończona, więc z de l'Hospitala \(\displaystyle{ B=-1}\) i \(\displaystyle{ A=-4}\). Wychodzi, że Granica ta równa jest \(\displaystyle{ 8}\) , czyli \(\displaystyle{ C=8}\).


Czy więc trójka \(\displaystyle{ (A,B,C) = (-4, -1, 8)}\) jest jedyna która spełnia warunek ciągłości z zerze ?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Dla jakich parametrów jest f(x) różniczowalna

Post autor: bartek118 » 1 wrz 2011, o 21:12

Nie możesz skorzystać z de l'Hospitala - nie wiesz do czego zmierza licznik

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Dla jakich parametrów jest f(x) różniczowalna

Post autor: skolukmar » 1 wrz 2011, o 21:29

Własnie na tej podstawie dopasowywałem parametry, tak, żeby licznik zbiegał do zera. Podobnie jak mianownik. Inaczej (gdyby tak nie było, granicą mogłaby być nieskończoność, tak ?

Jeśli to jest złe rozwiązanie, jako to powinno być policzone ?
Proszę o wskazówki.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Dla jakich parametrów jest f(x) różniczowalna

Post autor: bartek118 » 2 wrz 2011, o 07:39

Aha, ok, rozumiem, jeśli w liczniku nie byłoby zera, to faktycznie granica byłaby nieskończona, no więc znalazłeś kandydata na taką trójkę, teraz z definicji musisz sprawdzić jeszcze różniczkowalność

ODPOWIEDZ