równania różniczkowe

[sylaa88]

Witam, mógłby ktoś mi powiedzieć jaki to jest typ równań?
kompletnie mnie zaskoczyły te zadania i nie wiem jak się za to zabrać

1). \(\displaystyle{ \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \frac{dy}{dx} +y(x-2y)=0 \\
y(2)=1}\)

2). \(\displaystyle{ x^{2} \left( \frac{dy}{dx} - y^{2} \right) + \frac{dy}{dx} = xy}\)

[mateuszek89]

ad. 1
Podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\). Będziesz miała równanie typu \(\displaystyle{ y^{\prime}(x)=f \left (\frac{y}{x} \right )}\). Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\).

[sylaa88]

jak mam niby to 1 podzielić przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) żeby mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) ?? jakoś tego nie widzę.. ;/

-- 2 wrz 2011, o 01:07 --

mam jeszcze jeden problem;/ mógłby ktoś mi to sprawdzić? to jest prosta różniczka ale nie wychodzi mi tak jak w odpowiedziach jest podane i nie wiem gdzie robię błąd:

\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}-y=y^2 \\
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x} \cdot y=\frac{1}{x} \cdot y^2 \\
\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{x}}\)
podstawiamy z(x):
\(\displaystyle{ z(x)=\frac{1}{y} \\
z\prime (x)=-\frac{1}{y^2} \cdot y\prime}\)
wstawiamy:
\(\displaystyle{ z\prime (x)+\frac{1}{x} \cdot z(x)=-\frac{1}{x}}\) -------->równania liniowe

później przeliczyłam
\(\displaystyle{ z(x)_{0}=A \cdot e^{-\int-\frac{1}{x}}=Ae^{lnx}=A \cdot x}\)
metodą uwzględniania stałej:
\(\displaystyle{ z(x)_{s}=A \cdot x \\
z(x)\prime _{s}=A\prime (x) \cdot x +A(x) \cdot 1\\
A\prime (x) \cdot x +A(x)-\frac{1}{x} \cdot A(x) \cdot x=-\frac{1}{x} \\
A\prime (x) \cdot x=-\frac{1}{x} \\
A\prime (x)=-\frac{1}{x^2} \\
A(x)=-\int\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}}\)

zatem podstawiamy za A(x) to co wyszło:
\(\displaystyle{ z(x)_{s}=\frac{1}{x} \cdot x=1}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ z(x)=z(x)_{0}+z(x)_{s} \\
z(x)=A \cdot x+1}\)
wracając do podstawienia z(x):
\(\displaystyle{ z(x)=\frac{1}{y} \\
y=\frac{1}{A \cdot x+1}}\)

[mateuszek89]

to równanie które podałaś nie trzeba robić przez podstawienie mamy:
\(\displaystyle{ xy^{\prime}-y=y^2\\
\frac{y^{\prime}}{y^2+y}=\frac{1}{x}}\)
dalej sobie poradzisz. A w tym pierwszym podziel zwyczajnie przez \(\displaystyle{ x^2}\) i zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\). Jeśli nadal nie wiesz jak to pokaż co Ci wychodzi jak podzielisz obie strony tego równania. Pozdrawiam!

[sylaa88]

dobrze dzięki, a ten sposób co ja zrobiłam jest zły??-- 2 wrz 2011, o 23:59 --ta pierwsza różniczka:
\(\displaystyle{ \left( 1-t+t^2\right)\frac{dy}{dx}+t-2t^2=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{-t+2t^2}{t^2-t+1}}\)

takie cos mi wyszło jak podstawiłam za:
\(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\)
gdy przeliczyłam
\(\displaystyle{ y=t(x)*x}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=t+x*\frac{dt}{dx} \\
t+x*\frac{dt}{dx}=\frac{-t+2t^2}{t^2-t+1}}\)

jak dla mnie to te rachunki nie mają sensu bo do niczego nie prowadzą...

możesz mi coś doradzić? ;/

[mateuszek89]

jest ok. Przenieś na drugą stronę \(\displaystyle{ t}\) i rozdziel zmienne.

[Mariusz M]

1). \(\displaystyle{ \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \frac{dy}{dx} +y(x-2y)=0 \\
y(2)=1}\)

2). \(\displaystyle{ x^{2} \left( \frac{dy}{dx} - y^{2} \right) + \frac{dy}{dx} = xy}\)

1. Równanie jednorodne
2. Równanie Bernoulliego

\(\displaystyle{ \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \frac{dy}{dx} +y(x-2y)=0 \\
y(2)=1\\
\left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \mbox{d}y +y(x-2y) \mbox{d}x=0\\
\left( 2y^2-xy\right) \mbox{d}x = \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \mbox{d}y\\
\frac{2y^2-xy}{x^{2} - xy + y^{2}}= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\\
\frac{2 \frac{y^2}{x^2}- \frac{y}{x} }{1- \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} }= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\\
u^{\prime}x+u= \frac{2u^2-u}{1-u+u^2}\\
u^{\prime}x= \frac{2u^2-u-u+u^2-u^3}{1-u+u^2}\\
u^{\prime}x=- \frac{u^3-3u^2+2u}{1-u+u^2}\\
\frac{u^2-u+1}{u^3-3u^2+2u} \mbox{d}u=- \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u}- \frac{1}{u-1}+ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{u-2} \right) \mbox{d}u=- \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\frac{1}{2}\ln{\left| u\right| }-\ln{\left| u-1\right| }- \frac{3}{2}\ln{\left| u-2\right| } =-\ln{|x|}+C\\
\ln{\left| u\right| }-2\ln{\left| u-1\right| }+ 3\ln{\left| u-2\right| }=-2\ln{\left| x\right| }+C\\
\frac{u\left( u-2\right)^3 }{\left( u-1\right)^2 } =Cx^{-2}\\
\frac{y}{x}\left( \frac{y^3}{x^3}-6 \frac{y^2}{x^2}+12 \frac{y}{x}-8 \right) \cdot \frac{1}{\left( \frac{y^2}{x^2}-2 \frac{y}{x} +1 \right) } =Cx^{-2}\\
\left(\frac{y^4}{x^4}-6 \frac{y^3}{x^3}+12 \frac{y^2}{x^2}-8 \frac{y}{x}\right)\cdot \frac{1}{\left( \frac{y^2}{x^2}-2 \frac{y}{x} +1 \right) } =Cx^{-2}\\
\frac{y^4-6xy^3+12x^2y^2-8x^3y}{x^2y^2-2x^3y+x^2}= \frac{C}{x^2}\\
\frac{y^4-6xy^3+12x^2y^2-8x^3y}{y^2-2xy+1}=C \\
y^4-6xy^3+12x^2y^2-8x^3y=C\left(y^2-2xy+1 \right)}\)

2


\(\displaystyle{ x^{2} \left( \frac{dy}{dx} - y^{2} \right) + \frac{dy}{dx} = xy\\
x^{2} \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-x^{2}y^{2}+ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}=xy\\
\left( x^{2}+1\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-xy=x^{2}y^{2}\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }- \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }y= \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }y^{2}\\
\frac{y^{\prime}}{y^{2}}- \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) } \frac{1}{y}= \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }\\
u= \frac{1}{y}\\
-u^{\prime}- \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }u= \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }\\
u^{\prime}+ \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }u= - \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }\\
u^{\prime}+ \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }u=0\\
u^{\prime}=- \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }u\\
\frac{u^{\prime}}{u}=- \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) }\\
\frac{ \mbox{d}u}{u}= -\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\left( x^{2}+1\right) } \mbox{d}x \\
\ln{\left| u\right| }=- \frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }+C\\
u=C\left( x^2+1\right)^{ -\frac{1}{2} }\\
u\left( x\right)=C\left( x\right)\left( x^2+1\right)^{ -\frac{1}{2} }\\
C^{\prime}\left( x\right) \left( x^2+1\right)^{ -\frac{1}{2} }- xC\left( x\right)\left( x^2+1\right)^{ -\frac{3}{2} }+xC\left( x\right)\left( x^2+1\right)^{ -\frac{3}{2} }=- \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }\\
C^{\prime}\left( x\right) \left( x^2+1\right)^{ -\frac{1}{2} }=- \frac{x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) }\\
C^{\prime}\left( x\right)=- \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+1} } \\
C\left( x\right)=- \frac{1}{2}\left(x \sqrt{x^2+1}-\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| } \right)+C\\
u= - \frac{x \sqrt{x^2+1}-\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| } +C}{2 \sqrt{x^2+1} }\\
\frac{1}{y}=- \frac{x \sqrt{x^2+1}-\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| } +C}{2 \sqrt{x^2+1} }\\
y=- \frac{2 \sqrt{x^2+1}}{x \sqrt{x^2+1}-\ln{\left| x+ \sqrt{x^2+1} \right| } +C}}\)

[luka52]

mariuszm,

\(\displaystyle{ \frac{2 \frac{y^2}{x^2}- \frac{y}{x} }{1- \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2} }= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\\u^{\prime}x+u= \frac{u^2-u}{1-u+u^2}}\)

Zgubiłeś \(\displaystyle{ 2}\) w liczniku.