LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
K-mil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 10 maja 2011, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: K-mil » 5 paź 2011, o 19:53

W zad.2. można też tak pokazać że potęga 2 musi być parzysta:
Każda nieparzysta potęga 2 kończy się cyfrą 2 lub 8. więc lewa strona kończy się na 5+2=7 lub 5+8=13, czyli cyfra jedności 3. Ale żadne dwie cyfry pomnożone przez siebie nie dadzą liczby której cyfra jedności to 3 lub 7 ( można ręcznie sprawdzić 9 przypadków jeśli nie widać od razu

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Swistak » 5 paź 2011, o 20:31

Marcinek665 pisze:
Swistak pisze:Bez jakiegoś syfnego sprawdzania ile jest \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 2^3}\) modulo 5 i patrzenia, że te syfy nie są resztami, poprzez wypisanie ich wszystkich .
To jest dylemat pomiędzy ładnym a elementarnym rozwiązaniem. Ja wybrałem elementarne, bo wiadomo, że zadanie z pierwszej serii pierwszego etapu nie będzie szło raczej niczym wyrafinowanym xD
Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .

Prastaruszek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 22 lip 2009, o 12:48
Płeć: Mężczyzna

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Prastaruszek » 5 paź 2011, o 20:42

Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Marcinek665 » 5 paź 2011, o 21:08

Swistak pisze: Ej, halo, to co ja napisałem jest w 100% elementarne, bez przesady . Ale to rozwiązanie, to bardziej jest robienie sobie jaj, bo wykazanie, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste jest śmiesznie proste .
Dla mnie pojęcie "elementarne", to mniej więcej "w zakresie szkoły średniej". A spróbuj dać rzędy albo generatory jakiemuś przeciętnemu nauczycielowi z liceum. Ciekawe, czy zrozumie xD Już nie mówiąc o uczniach.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: bakala12 » 6 paź 2011, o 16:54

Szczerzę się przyznam że pierwszy raz słyszę o twierdzeniu Mihailescu.
To jest coś pięknego!
Też mnie to ciekawi. Jest również możliwość, że wymienienie MTFa i Jensena jako prostych i elementarnych twierdzeń dla licealistów to ironia xD

Brać się za drugą serię, chociaż pewnie większość już ją rozkminiła

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Panda » 6 paź 2011, o 17:17

Prastaruszek pisze:Hmmm... Trzecie dało się zrobić odbijając względem obu dwusiecznych paru punktów i dopałowaniu na sinusach... (kwestią nierostrzygniętą zostanie pewnie, czy wogóle trzeba było odbijać, ale nie chce mi się tego sprawdzać żeby się nie czerwienić).
1. Wielomiany
2. Parzystość + Mihailescu (stwierdziłem że trzeba podtrzymać tradycję używania go w pierwszych etapach)
4. Clas(S)ic
Mogę spytać o rozwiązanie z Mihailescu?

K-mil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 10 maja 2011, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: K-mil » 6 paź 2011, o 19:39

Dla Pandy rozwiązanie 2 z Mihailescu:
Jak już dowiedziemy ż \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste \(\displaystyle{ x=2n}\) to możemy zapisać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 ^{l}=k+2 ^{n} \\ 5 ^{m}=k-2 ^{n} \\ l>m \end}\).

Odejmując stronami mamy \(\displaystyle{ 5 ^{l} - 5 ^{m}=2 ^{n+1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n+1>0}\) a żadna potęga \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podzielna przez 5 więc musi zachodzić \(\displaystyle{ m=0}\). I teraz możemy zapisać \(\displaystyle{ 5 ^{l}-2 ^{n+1}=1}\) I teraz korzystając z tw. Mihailescu zauważamy że \(\displaystyle{ l=1}\). Czyli \(\displaystyle{ 5-1=4=2 ^{2}=2 ^{n+1}}\) Stąd \(\displaystyle{ n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=2, y=1}\)

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Panda » 6 paź 2011, o 19:59

Dzięki, miałem nadzieję na coś mniej naciąganego

Awatar użytkownika
Dunix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ropczyce
Podziękował: 3 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Dunix » 10 paź 2011, o 13:08

Mam pytanie natury technicznej odnośnie zadania nr 8. Mianowicie jak należy rozumieć wyrażenie \(\displaystyle{ f(x) ^{2}}\) czy jako \(\displaystyle{ [f(x)] ^{2}}\) czy może \(\displaystyle{ f(x^{2})}\)

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: marcin_smu » 10 paź 2011, o 13:29

Oczywiście jako \(\displaystyle{ \left( f(x)\right)^2}\)

Awatar użytkownika
Dunix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ropczyce
Podziękował: 3 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Dunix » 10 paź 2011, o 14:04

Dzięki, tak jak myślałem

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Sylwek » 18 paź 2011, o 10:33

Witam i proszę o uwagę.

Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.

Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.

Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1111
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Mruczek » 18 paź 2011, o 15:29

Na stronie OM pojawiły się rozwiązania zadań z I serii.

dedeluszz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 14 maja 2009, o 20:55
Płeć: Mężczyzna

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: dedeluszz » 18 paź 2011, o 20:38

"Fukcje f określone na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste"

czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ ZWf = \left( - \infty , + \infty \right)}\) ??

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Marcinek665 » 18 paź 2011, o 20:48

Oznacza, że to funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\).

ODPOWIEDZ