LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
dedeluszz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 14 maja 2009, o 20:55
Płeć: Mężczyzna

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: dedeluszz » 3 gru 2011, o 22:52

Heh po prostu przy różnych promieniach mam lol dziwne rozwiązanie, hehe musze poczekać do wtorku bo aż jestem ciekawy jak to ma być prawidłowo zrobione. dziękuje

K-mil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 10 maja 2011, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: K-mil » 6 gru 2011, o 05:46

W zadaniu 9 miało wyjść tylko \(\displaystyle{ n=1}\)?

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Marcinek665 » 6 gru 2011, o 05:59

Tak.

Dobra, myślę że o 6:00 już nikt nie dostanie stempla z dniem poprzednim, więc może już się zaczniemy chwalić. Ja bez zbędnego napinania powiem, że wbiłem tylko zadania 9 i 10.
9:    
10:    
Ponadto wzór do 12 to zdaje się \(\displaystyle{ a_{n} = 9\cdot 7^{n-2} + 1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}=2}\). Nie udało mi się jednak tego dowieść.

Podsumowując zrobiłem prawie komplet, bo bez 11 i 12. Próg będzie, sądzę, że w okolicach 5-6 zadań

Emce1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 129
Rejestracja: 20 lis 2010, o 19:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Pomógł: 8 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Emce1 » 6 gru 2011, o 06:50

Nie mam teraz czasu pisać pełnych rozwiązań, więc teraz tylko szkice, najwyżej poedytuję potem.
9:    
10:    
11:    
12:    

ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: ElEski » 6 gru 2011, o 07:04

Marcinek665,
Tak samo, jak Ty, tylko ja nie zrobiłem 11... Po prostu jestem strasznie cienki ze stereometrii
Chociaż, jak się potem okazało, pomysł przełożenia na 2D był dobry... No ale nic

A 12..

Ja wyprowadziłem rekurencyjny wzór, \(\displaystyle{ S_{n} = 7 S_{n-1} - 6.}\)
To było chyba najbardziej schematyczne i pałowe zadanie, jakie widziałem na OM

Schemat rozw: Przyjmijmy sobie \(\displaystyle{ S_{n-2} = x_{1}^3 + x_{3}^3 + x_{5}^3 +....+ x_{n}^3. S_{n-1} = x_{1}^3 + x_{2}^3 + x_{3}^3 +....+ x_{n}^3. (oczywiście x_{2}= x_{1}+x_{3} itd) No i S_{n} = x_{1}^3 + (x_{2} + x_{1})^3 + x_{2}^3 +...+ (x_{n-1}+x_{n})^3 + x_{n}^3.}\)
I teraz po prostu rozpisuje się \(\displaystyle{ S_{n}.}\) I po paru niesprytnych przekształceniach wychodzi, że jest to
\(\displaystyle{ 6S_{n-1}-3S_{n-2}+6n-8 + 3[ x_{3}^2 (x_{2}+x_{4}) + x_{5}^2 ( x_{4}+x_{6})+.... +x_{n-2}^2 (x_{n-3}+x_{n-1})]}\)

I teraz Patrzysz, że \(\displaystyle{ S_{n-2}-2 = x_{3}^3 + x_{5}^3+....+x{n-2}^3.}\)
I tak samo, niesprytnymi przekształceniami uzyskujemy \(\displaystyle{ S_{n-1}= 3S_{n-2}-2+ 3}\)[ to samo, co w ostatnim składniku sumy na S_{n}, tyle że w nawiasach są mniejsze liczby o odpowiednio 2 x3, 2x5, ...] No i wylicza sięten nawias, dodaje się do tego \(\displaystyle{ 6 [S_{n-2}-2]}\) i wychodzi ten ostatni składnim sumy na Sn, wszystko się ładnie skraca

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: bakala12 » 6 gru 2011, o 07:25

No to ktoś w ogóle zrobił 11? Bo jestem ciekawy rozwiązania.

opilo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 2 gru 2010, o 10:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: koszalin
Pomógł: 1 raz

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: opilo » 6 gru 2011, o 08:50

Więc tak zad. 9 najprostsze
Zad.10 Mi wyszło tylko n=2, więc jakiś mam błąd
Zad.12 Jak myślicie ile dostanę punktów jeśli podałem bez dowodu rekurencję ale wzór wyprowadziłem.
Zad.11 Ja zrobiłem tak:
Jeśli SO jest prostopadła do płaszczyzny danej w zadaniu to jest prostopadła do każdego z tych odcinków.Jeśli zrzutujemy prostokątnie prostą SO to na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych powinna ona być prostopadła do wszystkich 3 odcinków, a spełnia to tylko wtedy gdy punkt o leży na wysokości SS". Wtedy tych rzutów możemy narysować "nieskończenie wiele". Jeśli O leży na wysokości to płaszczyzna dana w zadaniu powinna być równoległa do płaszczyzny podstawy. Środki ciężkości trójkątów leżą na tej samej wysokości, dochodzę do wniosku że trójkąty muszą być przystające. Z tego mamy takie same długości krawędzi podstawy, więc podstawa jest trójkątem równobocznym a to mieliśmy dowieść.

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Panda » 6 gru 2011, o 09:17

Chętnie zobaczyłbym klarowne i czytelne rozwiązanie 12., gdyby się komuś chciało. Też próbowałem to rozpisywać, ale coś mi nie szło - wyszło znacznie większe bagno niż wynika z tego co tutaj czytam.

W 10. ma ktoś nieparzysty przypadek inaczej niż z ogarniania najdłuższego odcinka i powtarzania rozumowania \(\displaystyle{ k}\) razy?

Moje w miarę kompletne rozwiązanie 10.:
Ukryta treść:    

Patron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War-Maz
Podziękował: 14 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Patron » 6 gru 2011, o 14:00

9
Jak wyżej Łatwo i przyjemnie

Co do 10
To zrobiłem tak, że najpierw wykazałem że jeżeli mamy 2 punkty to kolejne możemy dodawać parami czyli ogólnie, że nieparzyste odpadają. A potem napisałem "Udowadniam, że kolejne pary można dodawać w nieskończoność". Wykorzystałem koło, i chyba jakoś, że dodawając pary punktów tak, że będą stanowić średnice sprawi, że własność opisana w zadaniu będzie prawdziwa. A na kole punkty można dopisywać w nieskończoność.

11
Niby coś tam wykazałem, że wielokąt foremny w podstawie, ale nie wiem.

12
Nie miałem pojęcia... wyliczyłem tylko dla pierwszych trzech i wynalazłem wzór stosując metodę "zgaduj zgadula"

fissunix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 maja 2011, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: różnie

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: fissunix » 6 gru 2011, o 16:05

Moje rozwiązanie do zad. 12
Ukryta treść:    
Dalej dowód indukcyjny i chyba tyle

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Panda » 6 gru 2011, o 16:37

Hmm...OK. To teraz jak już po wszystkim - jak oceniacie poziom tegorocznego pierwszego etapu?

Mnie osobiście wygląda na niższy - poza stereo, chyba 8 i jakimś cudem 12 nie było zadań które wymagałyby coś ponad taką niższą przeciętną. Nie oglądałem zbyt dużo pierwszych etapów, ale inne mi szły gorzej (może mniej motywacji miałem). No ale ja się nie znam, bardzo ciekawią mnie wasze (i jeśli macie, to np waszych opiekunów/nauczycieli) opinie.

MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: MadJack » 6 gru 2011, o 17:15

Pierwszy start w OM, zrobiłem 4 zadania w tym jedno z małym błędem. I tak jest lepiej niż rok temu, kiedy nie potrafiłem ruszyć żadnego. No cóż, może za jeszcze jeden rok mi się coś uda
Żałuję trochę 10., bo robiłem jak Marcinek665, tylko z tym najdłuższym odcinkiem zaplątałem się i stwierdziłem, że nie tędy droga. Zresztą tak samo było z geometriami z serii 1 i 2, gdzie przy samych końcówkach wyszła moja ślepota i przede wszystkim brak doświadczenia w geometrii.
Pozdrawiam

Acros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 14 sty 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
Podziękował: 7 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Acros » 6 gru 2011, o 17:17

Ja mam z 3 serii 9,10,12
9 i 12 mam jak reszta ,10 trochę inaczej ale podobno dobrze
W sumie mam 9 z 12 , jestem zadowolony , na temat trudności zadań raczej się wypowiedzieć nie mogę bo to mój pierwszy start , jednakże zadania 1,3,9 były bardzo łatwe.

Patron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War-Maz
Podziękował: 14 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Patron » 6 gru 2011, o 17:40

A ja mam pytanie, jak przekazują wyniki?

1) Czy przesyłają wyniki do szkoły? Ew. co zawierają, czy punkty za poszczególne zadania?
2) Gdzie wyniki są najpierw? W internecie czy w szkole?
3) Kiedy mniej więcej można się spodziewać wyników? Z tego co lukałem to w internecie, połowa stycznia?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2011, o 17:42 przez Patron, łącznie zmieniany 1 raz.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: bakala12 » 6 gru 2011, o 17:42

Ja również nie mam się co wypowiadać, też pierwszy raz startuję, ale wydaję mi się że zadania ciut łatwiejsze niż z poprzednich OM.
Odnośnie trzeciej serii to moje zdanie jest takie:
zad 9. bardzo łatwe
zad 10. ujdzie, choć trochę się nad nim zeszło
zad 11. u mnie nic
zad 12. jak wszyscy
I moim zdaniem najfajniejsze zadanie z tegorocznego pierwszego etapu to bezkonkurencyjnie 12.
Zadanie 12
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ