Matematyka.pl

Zad.1. Czy funkcja \(\displaystyle{ g:x \mapsto[x]}\) jest homomorficznym odwzorowaniem pierścienia \(\displaystyle{ (\RR, +, \cdot)}\) na pierścień \(\displaystyle{ (\ZZ, +, \cdot)}\).
Zad.2. Sprawdzić, które z następującyhc zbiorów są pierścieniami (za kazdym razem jako działania rozpatruje się zwykłe w tym zbiorze dodawanie i mnożenie)
a) zbiór liczb postaci \(\displaystyle{ a+ b\cdot\sqrt 2 + c\cdot \sqrt 3}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami wymiernymi
b) zbiór funkcji rzeczywistych okreslonych na prostej

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ [x]}\) część całkowitą z liczby \(\displaystyle{ x}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 5 = [5.69] = [2.3 \cdot 2.3] \neq [2.3] \cdot [2,3] = 2\cdot 2 = 4}\), a więc odwzrowoanie to nie jest homomorfizmem pierścieni bo nie jest multyplikatywne.

Nie jest nawet addytywne, co łatwiej pokazać (na przykład na kolokwium):

\(\displaystyle{ 1 = [1] = \left[\frac 12 + \frac 12\right] \neq \left[\frac 12\right] +\left[\frac 12 \right] = 0 + 0 = 0}\)

Co do zadania 2.
a) ten zbiór nie jest pierścieniem; gdyby tak było to \(\displaystyle{ \sqrt{6}=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\), a to jest niemożliwe (proste sprawdzenie)
b) Zachodzi fakt ogólny: niech \(\displaystyle{ X}\) będzie pewnym zbiorem (niepustym), zaś \(\displaystyle{ R}\) - pierścieniem (z jedynką). Wówczas zbiór funkcji \(\displaystyle{ R^X}\) z działaniami dodawania i mnożenia po wartościach jest pierścieniem (z jedynką)