potencjał pola wektorowego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
robp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 sie 2011, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

potencjał pola wektorowego

Post autor: robp » 31 sie 2011, o 15:18

Witam wszystkich.

Przygotowuję się do egzaminu z analizy matematycznej (ten piątek). Przerobiłem już niemal wszystko. Brakuje mi jednakże przykładów z odpowiedziami na potencjał pola wektorowego, by w pełni zrozumieć ten zakres materiału. W związku z tym, czy ktoś mógłby przedstawić tok i ważniejsze przekształcenia w przykładzie poniżej? Robiłem to tak, że (po zapisaniu całki) całkowałem pierwszą składową pola od 0 do x, zaś w drugiej podstawiałem x = 0 i całkowałem od 0 do y. Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

Zadanie
Wyznaczyć potencjał pola \(\displaystyle{ \vec{W} = [y + 2xy\sin{(x^2y)}, x + x^2\sin{(x^2y)}].}\)

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

potencjał pola wektorowego

Post autor: Crizz » 31 sie 2011, o 16:56

Oznaczmy \(\displaystyle{ \vec{W}=[P,Q]}\).

Zaczynasz od sprawdzenia, czy to pole rzeczywiscie jest potencjalne, czyli czy \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\).

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie szukanym potencjałem. Wówczas \(\displaystyle{ P=\frac{\partial F}{\partial x}}\) oraz \(\displaystyle{ Q=\frac{\partial F}{\partial y}}\). Całkujesz jedno z tych wyrażeń, potem różniczkujesz względem drugiej zmiennej, żeby porównać z drugim wyrażeniem i tym samym uzyskać wzór na stałą całkowania.

Po kolei:

\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=2x^3y\cos(x^2y)+2x\sin(x^2y)+1\\ \frac{\partial Q}{\partial x}=2x^3y\cos(x^2y)+2x\sin(x^2y)+1}\)
zatem pole jest potencjalne.

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y} =x + x^2\sin{(x^2y)}}\), czyli:
\(\displaystyle{ F=\int \frac{\partial F}{\partial y} \mbox{d}y=xy-\cos (x^2 y)+C(x)\\ \frac{\partial F}{\partial x}=2xy\sin(x^2y)+y+C^\prime(x)}\)
Skoro \(\displaystyle{ 2xy\sin(x^2y)+y+C^\prime(x)\equiv 2xy\sin(x^2y)+y}\), to \(\displaystyle{ C(x)=C}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ F=xy-\cos (x^2 y)+C}\).

robp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 sie 2011, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

potencjał pola wektorowego

Post autor: robp » 1 wrz 2011, o 20:45

Wielkie dzięki:-). Teraz dopiero widzę, jak bardzo na około i na intuicję robiłem takie zadania. Sposób rozwiązania jest bardzo przyjemny, prosty i przejrzysty. Pochwała jak nic.

ODPOWIEDZ