Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
notokey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 6 sty 2011, o 12:15
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: notokey » 31 sie 2011, o 14:36

Witam,
mam problem z obliczeniem całki. Mam skorzystać z Podstawowego Twierdzenia Rachunku Całkowego. Wynik powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f'(x)= f(x+1)-f(x).}\)

A teraz od początku z tym co wymyśliłam:

\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{1} f(x)\mbox{d}y = \int_{0}^{1} [f(x+y)-f(y)]\mbox{d}y = \int_{x}^{1+x}f(u)\mbox{d}u - \int_{0}^{1} f(y)\mbox{d}y}\)

Dalej utknęłam. Czy ktoś podpowie co dalej?
Ostatnio zmieniony 31 sie 2011, o 15:04 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: Lorek » 31 sie 2011, o 19:25

A ta funkcja to ma jakieś specjalne własności skoro zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f(x+y)-f(y)}\)? (no chyba, że czegoś nie widzę). A pomijając to, to wystarczy zróżniczkować skrajne strony.

notokey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 6 sty 2011, o 12:15
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: notokey » 3 wrz 2011, o 09:55

To jest fragment dowodu twierdzenia.
Tw. Niech \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) bedzię ciągłą funkcją spełniającą równanie \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\). Funkcja f jest liniowa, gdy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cx}\), c jest dowolną stałą.

Dowód zaczyna się tak : ustalmy x, a następnie zcałkujemy równanie \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\) ze względu na zmienną y.

I tu pojawia się całka.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: Lorek » 3 wrz 2011, o 12:34

A, czyli dowód na to, że jedynymi ciągłymi funkcjami linowymi są te postaci \(\displaystyle{ cx}\). No to tak jak mówię, wystarczy zróżniczkować równanie
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{x}^{1+x}f(u)\mbox{d}u - \int_{0}^{1} f(y)\mbox{d}y}\)

notokey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 6 sty 2011, o 12:15
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: notokey » 4 wrz 2011, o 21:21

A możesz to napisać? Bardzo proszę.

Mam coś takiego, ale chyba źle, bo nie wiem skąd się bierze rezultat ostateczny...

\(\displaystyle{ f'(x) = f(x+1)-f(x)-f(1)+f(0)}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: Lorek » 4 wrz 2011, o 22:55

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(y)\mbox{d}y}\) jest liczbą (stałą), więc pochodna po jakiejkolwiek zmiennej jest równa...
A co do 1szej części to z tego tw. łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\int_{\varphi (x)}^{\psi(x)}f(u) \mbox{d}u\right)=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)}\)

notokey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 6 sty 2011, o 12:15
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Post autor: notokey » 6 wrz 2011, o 13:48

Ponieważ w drugiej całce nie ma x więc po rozwiązaniu jej jej rezultat będzie równy zero...

Reszta dowodu jest już łatwa Mam problem z całkami.

Dziekuję za pomoc

ODPOWIEDZ