Suma Riemana (proste)

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
tommasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Suma Riemana (proste)

Post autor: tommasz » 31 sie 2011, o 14:19

Mam obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) ^2 } \frac{k}{n^2}}\)
Od razu widać, że funkcją do której ten szereg zbiega jest:
\(\displaystyle{ f(x)= x \sqrt{1-x^2}}\)
Tylko problem mam z wyznaczeniem granic całkowania, bo szereg sumuje do 2n, to więc powinienem obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}f(x)\,\text dx}\) czy \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)\,\text dx}\) ?

No i jeszcze jedna wątpliwość, jeżeli w tym szeregu podstawie k=2n, to wychodzi mi ujemna liczba pod pierwiastkiem...
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2011, o 19:56 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Suma Riemana (proste)

Post autor: Lorek » 31 sie 2011, o 18:33

No i jeszcze jedna wątpliwość, jeżeli w tym szeregu podstawie k=2n, to wychodzi mi ujemna liczba pod pierwiastkiem...
Ja bym zaczął od tej wątpliwości, bo na chwilę obecną to to wyrażenie nie ma sensu. Dobrze przepisany przykład?

tommasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Suma Riemana (proste)

Post autor: tommasz » 2 wrz 2011, o 10:01

Tak, dobrze przepisany. Spodziewam się, że prowadzący zrobił błąd. Więc zadanie pewnie jest źle postawione.

Ale co by było gdyby założyć, że pod pierwiastkiem jest wszystko dobrze, że zawsze jest większe od zera?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Suma Riemana (proste)

Post autor: Lorek » 2 wrz 2011, o 12:12

Jakby np. było coś takiego
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) } \frac{k}{n^2}}\)
i zapisałbyś to tak
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) } \frac{k}{n}}\)
to znaczyłoby to, że dzielisz przedział na odcinki długości \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) a punkty pośrednie są postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{2n-1}{n},\frac{2n}{n}=2}\)
i stąd chyba widać jakie by były granice całkowania.

ODPOWIEDZ