Matematyka.pl

Witam, prosze o pomoc z zadaniem.

Znaleźć minimum i maksimum funkcji \(\displaystyle{ f: R^{2}\to R}\)

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+ y^{2} + z^{2}}\)

na zbiorze

\(\displaystyle{ M = \left\{ (x, y, z) \in R^{3}: x^{2} + 2y^{2} + 3z ^{2} = 1, z = \frac{1}{2}\right\}}\).

Skoro \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\), to zadanie brzmi:

Znaleźć minimum i maksimum funkcji \(\displaystyle{ f: R^{2}\to R}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2}+ y^{2} + \frac{1}{4}}\)
na zbiorze
\(\displaystyle{ M = \left\{ (x, y) \in R^{2}: x^{2} + 2y^{2} = \frac{1}{4} \right\}}\)

Można zadanie robić "klasycznie", ale można zauważyć, że dostajemy:
\(\displaystyle{ f(x,y) = f(y) = \frac{1}{2} - y^2}\)
I szukasz ekstremum tej funkcji na przedziale od \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt{8}}}\) do \(\displaystyle{ +\frac{1}{\sqrt{8}}}\). I stąd łatwo zauważyć, że maksimum będą punkty \(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)}\), a minimum to \(\displaystyle{ \left( 0,-\frac{1}{\sqrt{8}},\frac{1}{2}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 0,\frac{1}{\sqrt{8}},\frac{1}{2}\right)}\).

Nie bardzo zrozumiałem dlaczego wyszło że

\(\displaystyle{ f(x,y) = f(y) = \frac{1}{2} - y^2}\)

dzięki