Iloczyn operatorów unitarnych

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: ares41 » 31 sie 2011, o 10:47

Wykazać, że iloczyn operatorów unitarnych jest operatorem unitarnym.
Niech \(\displaystyle{ U_1, U_2}\) będą operatorami unitarnymi.
Aby ich iloczyn był operatorem unitarnym musi zachodzić \(\displaystyle{ \left( U_1U_2 \right) ^{\dagger} \left( U_1U_2 \right) =I}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( U_1U_2 \right) ^{\dagger} (U_1U_2)=U_2^{\dagger}U_1^{\dagger}U_1U_2=U_2^{\dagger}IU_2=I \cdot U_2^{\dagger}U_2=I \cdot I=I}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: Rogal » 31 sie 2011, o 12:11

Nie widzę haczyka - czemu miałoby być niepoprawne? Korzystałeś przecież tylko z definicji.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: ares41 » 31 sie 2011, o 12:14

Wolałem się upewnić, to moje pierwsze zadanie z tego działu.
Dzięki za sprawdzenie.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: Wasilewski » 31 sie 2011, o 16:22

W zasadzie, to wypadałoby jeszcze sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (U_{1} U_{2}) (U_{1} U_{2})^{*} = I}\).
Po notacji wnoszę, że uczysz się z jakiejś książki do fizyki (pewnie do mechaniki kwantowej). O ile samo uczenie się tej dziedziny nie jest niczym złym, to jednak zawieranie znajomości z analizą funkcjonalną za pośrednictwem podręcznika do fizyki można uznać za mało rozsądne, bo fizycy traktują ją jako narzędzie, ale czerpią tylko korzyści, natomiast wszelkie trudności ignorują. W tym celu tworzą różne moralnie naganne konstrukcje, które mogą namieszać w głowie młodemu adeptowi tej dziedziny matematyki.
Jeśli jednak się mylę, co do pochodzenia tego zadania (czyli poważnie się wygłupiłem), to powyższa uwaga niech będzie przestrogą dla innych.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: ares41 » 31 sie 2011, o 16:32

Zgadza się, to zadanie pochodzi z podręcznika Shankar'a do mechaniki kwantowej. Właśnie zauważyłem, że przed przerobieniem dalszej części tej książki będę musiał przerobić sobie osobno analizę funkcjonalną. Myślę nad zakupem podręcznika Rudin'a, ale nie wiem czy to dobry wybór.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: Wasilewski » 31 sie 2011, o 16:40

To zależy od tego, czy interesuje Cię analiza funkcjonalna, czy zwyczajnie chcesz mieć swobodę w posługiwaniu się matematycznym formalizmem mechaniki kwantowej. Jeśli to pierwsze, to Rudin jest bardzo dobry (ale niełatwy, więc wypada wcześniej wiedzieć to, co się wykłada na kursie analizy oraz znać podstawy analizy zespolonej), jeśli to drugie, to trudno mi doradzić; ja należę do tej pierwszej grupy. Ale możesz próbować atakować książki o metodach matematycznych; być może warto przejrzeć ten temat: http://www.matematyka.pl/257667.htm.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Iloczyn operatorów unitarnych

Post autor: ares41 » 31 sie 2011, o 16:51

W sumie to ciężko powiedzieć, czy interesuje mnie analiza funkcjonalna, bo dopiero zrobiłem kilka prostych zadań. Chyba jednak zdecyduję się na Rudin'a. Z analizą nie powinno być problemów, a analizę zespoloną na razie tylko "liznąłem", więc będę musiał sobie przypomnieć to co już zrobiłem i przerobić to czego nie zdążyłem zrobić w zeszłe wakacje.
Dzięki za wskazówki.

ODPOWIEDZ