macierz przekształcenbia liniowego 2

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

macierz przekształcenbia liniowego 2

Post autor: anetaaneta1 » 30 sie 2011, o 20:56

Dana jest macierz przekształcenia liniowego przy pewnej bazie \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}}\). Wykazać że nie istnieje baza przy której macierzą tego przekształcenia byłaby macierz \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 &1 \end{bmatrix}}\).

Z góry dzięki za pomoc

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18762
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3727 razy

macierz przekształcenbia liniowego 2

Post autor: szw1710 » 30 sie 2011, o 21:24

Niezmiennikiem przekształceń liniowych jest nieosobliwość ich macierzy. Chodzi o to, że jeśli w jednej bazie macierz jest nieosobliwa, to w każdej innej bazie macierz tego samego przekształcenia też jest nieosobliwa. A tu jedna z macierzy jest nieosobliwa, a druga osobliwa.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

macierz przekształcenbia liniowego 2

Post autor: anetaaneta1 » 30 sie 2011, o 21:31

to to jest jakieś twierdzenie o ten macierzy nie osobliwej ??? Jak to tw brzmi ??? zawsze tak jest czy muszą byc spełnione inne warunki ???

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

macierz przekształcenbia liniowego 2

Post autor: tometomek91 » 30 sie 2011, o 21:34

Albo nieco dłużej: (zapomniałem o tym fakcie niezmienniczości, ale jak już sie tyle napisałem, to wkleje )
Niech \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie tym przekształceniem liniowym i \(\displaystyle{ B=\{a,b \}}\) bazą przy której A jest jego macierzą. Wtedy \(\displaystyle{ \varphi a= a}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi b = a+b}\). Przypuśćmy, że jest baza \(\displaystyle{ C=\{ a', b' \}}\) taka, że \(\displaystyle{ \varphi a'=\varphi b'= a' + b'}\). Ponieważ B jest bazą, więc istnieją takie współczynniki \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta}\), że \(\displaystyle{ a'=\alpha a + \beta b}\) i \(\displaystyle{ b' = \gamma a+ \delta b}\). Z liniowości \(\displaystyle{ \varphi}\) mamy: \(\displaystyle{ \varphi a'=\alpha \varphi a + \beta \varphi b= \alpha a + \beta (a+b)}\), z drugiej jednak strony \(\displaystyle{ \varphi a' =\alpha a + \beta b + \gamma a+ \delta b}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha a + \beta b + \gamma a+ \delta b=\alpha a + \beta (a+b)}\) skąd \(\displaystyle{ \gamma a+ \delta b= \beta a}\) czyli mamy sprzeczność z tym, że wektory z B są liniowo niezależne (bo \(\displaystyle{ \gamma}\) i \(\displaystyle{ \delta}\) nie moga być jednocześnie równe zeru).

ODPOWIEDZ