wartość parametru dla szeregu geometrycznego

[iksigrek123]

Witam!

Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania, w którym należy obliczyć wartość parametru a będącego sumą (o ile dobrze wywnioskowałem) szeregu geometrycznego. Oto ono:

Wskaż, dla jakich wartości parametru a podane równania mają rozwiązania:

\(\displaystyle{ x + x ^{2} + x ^{3} +... = a}\)

Odpowiedź prawidłowa to:

\(\displaystyle{ a \in \left[ - \frac{1}{2}, + \infty \right]}\)


---------------------------------------------

Z tego co udało mi się ustalić wiem, że:

\(\displaystyle{ a _{1} = x\\
q = x}\)
oraz \(\displaystyle{ \left| q \right| < 1}\)
zatem \(\displaystyle{ x}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

Zakładając, że szereg ten jest zbieżny, użyłem wzoru:

\(\displaystyle{ S _{n} = \frac{a _{1} }{1-q}}\)

Po podstawieniu otrzymuję:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x} = a}\)

Zatem \(\displaystyle{ x \neq 1}\)

Znając przedział wartości dla x, tj. (-1,1) oraz to że \(\displaystyle{ x \neq 1}\) napisałbym, że parametr a może przyjmować wartości \(\displaystyle{ (-1, + \infty )}\) \(\displaystyle{ \setminus \left\{ 1\right\}}\), lecz nie jest to zgodne z odpowiedzią.

Czy mógłby ktoś naprowadzić mnie gdzie robię błąd w rozumowaniu. Z góry serdecznie dziękuję!

[sushi]

zrob wykres (hiperbola)

\(\displaystyle{ y=\frac{x}{1-x}}\)

a potem pamietaj o ograniczeniu

\(\displaystyle{ -1<x<1}\)

[Dasio11]

A wg mnie dla \(\displaystyle{ a= -\frac{1}{2}}\) równanie nie ma rozwiązań.

[mmttdd]

Zgadza się, ale \(\displaystyle{ a}\) może być dowolnie bliskie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ x}\) będzie dostatecznie bliski \(\displaystyle{ -1}\).