Równanie różniczkowe - Laplace

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
genek2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 25 sty 2009, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie różniczkowe - Laplace

Post autor: genek2000 » 30 sie 2011, o 15:30

Witam,
mam problem z następującym równaniem:

\(\displaystyle{ u''+9u = \sin 3t \\ u(0)=1 \\ u'(0)=0}\)

dochodzę do momentu w którym mam :

\(\displaystyle{ U(s)=\frac{3}{(s^{2}+9)^{2}}}\)
i nie mogę tego ani rozłożyć na ułamki ani znaleźć transformaty odwrotnej.

Dzięki z góry za sugestie.
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 15:54 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Równanie różniczkowe - Laplace

Post autor: Spektralny » 30 sie 2011, o 15:51

\(\displaystyle{ U(s)=\frac{3}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{s+3-s}{(s^{2}+9)^{2}}}\)

a następnie rozbij na dwa ułamki. Do tych już możesz stosować transformatę odwrotną (z tablic).

genek2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 25 sty 2009, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie różniczkowe - Laplace

Post autor: genek2000 » 30 sie 2011, o 16:21

rozumiem, że po prostu na ułamki:
\(\displaystyle{ \frac{s+3}{(s^{2}+9)^{2}} - \frac{s}{(s^{2}+9)^{2}}}\)

W tablicach nie widzę nic co by można było zastosować nawet z przesunięciem :/

A na ułamki, tak żeby w mianowniku mieć
\(\displaystyle{ s^{2}+9}\)
też nie mogę rozłożyć.

alek160
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 30 maja 2009, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 86 razy

Równanie różniczkowe - Laplace

Post autor: alek160 » 30 sie 2011, o 17:59

Jeśli uwzględnisz warunki poczatkowe równania, otrzymasz..

\(\displaystyle{ U(s)= \frac{3}{ (s^2+9)^{2} } + \frac{s}{s ^{2}+9 }}\)

Skorzystaj ze wzorów tablicowych:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{ (s ^{2}+a ^{2} )^{2} } \longrightarrow \frac{1}{2a} \cdot \left( \sin(at) - at \cos(at)\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{s}{ s^2+a^2 } \longrightarrow \cos(at)}\)

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 18:52 przez alek160, łącznie zmieniany 1 raz.

genek2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 25 sty 2009, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie różniczkowe - Laplace

Post autor: genek2000 » 30 sie 2011, o 18:14

O kurcze rzeczywiście, miałem okrojoną tablicę

w warunkach początkowych jest błąd, u(0) = 0, ale teraz to nie ma znaczenia.
Dzięki.

ODPOWIEDZ