Objętość brył ograniczonych powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Objętość brył ograniczonych powierzchniami

Post autor: [pawciu] » 30 sie 2011, o 14:46

1. \(\displaystyle{ z=4-x ^{2} -y ^{2}, 2z=2+x ^{2} +y ^{2}}\)

Są to dwie paraboloidy obrotowe zwrócone w przeciwne strony. Krzywą ich przecięcia będzie okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2}\) i będzie on obszarem całkowania \(\displaystyle{ D}\).
Objętość bryły ograniczonej tymi parabolidami będzie równa : \(\displaystyle{ V= \iint_{D} \left( 4-x ^{2} -y ^{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y - \iint_{D} \left( 1+ \frac{x ^{2}}{2} +\frac{y ^{2}}{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

2.\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4a ^{2}, x ^{2} +y ^{2} -2ay=0}\)

Mamy tutaj sfere o promieniu \(\displaystyle{ 2a}\) oraz walec zwykły przesunięty o \(\displaystyle{ a}\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ OY}\). Obszarem całkowania będzie okrąg o równaniu\(\displaystyle{ x ^{2} +(y-a) ^{2} =a ^{2}}\).
Ze względu na symetrie objętość będzie równa:\(\displaystyle{ V=2\iint_{D} \sqrt{4a ^{2} -x ^{2} -y ^{2} } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozumowania, gdyż nie mam odpowiedzi do tych zadań.
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 17:18 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skalowanie nawiasów.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Objętość brył ograniczonych powierzchniami

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 15:00

Rozumiem, że brak kwadratów w równaniu walca to tylko literówki. Jeżeli tak, to reszta jest w porządku.

[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Objętość brył ograniczonych powierzchniami

Post autor: [pawciu] » 30 sie 2011, o 15:09

Tak, juz poprawiłem. Dziękuje za pomoc

ODPOWIEDZ