Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Post autor: gilus0022 » 30 sie 2011, o 11:57

Prosty przykład, który często się pojawia także w równaniach różniczkowych.

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}y}{y} = \int -\mbox{d}x \\ \\ \ln \left| y\right| = -x+C \\ \\ y= Ce^{-x}}\)

Tak to rozwiązuje, ale do końca nie wiem dlaczego na końcu nie jest tak:

\(\displaystyle{ y= e^{-x}+C}\)

Z góry dzięki za wyjaśnienie

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Post autor: » 30 sie 2011, o 12:01

\(\displaystyle{ \ln \left| y\right| = -x+C}\)
Przykładamy funkcję \(\displaystyle{ e^t}\) do obu stron:
\(\displaystyle{ e^{\ln \left| y\right|} = e^{-x+C} \\ | y| = e^C\cdot e^{-x}\\ y =\pm e^C\cdot e^{-x}}\)
I teraz podstawiamy \(\displaystyle{ c=\pm e^C}\) (nowa stała), otrzymując:
\(\displaystyle{ y=ce^{-x}}\)
(zwyczajowo nową stałą możemy też oznaczyć tak samo jak starą, bo to wszystko jedno)

Q.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Post autor: bartek118 » 30 sie 2011, o 12:04

W ogóle to na końcu powinno być \(\displaystyle{ y= e^{-x+C}}\)

Ale robi się takie coś:

\(\displaystyle{ y= e^{-x+C} = e^{C}\cdot e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ C:=e^{C}}\)

\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}}\)

Smarki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 26 cze 2013, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Matplaneta

Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Post autor: Smarki » 26 cze 2013, o 22:07

Powinno być:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}y}{y} = \int -\mbox{d}x \\ \\ \ln \left| y\right| = -x+ C \\ \\ \ln \left| y\right| = -x+\ln \left| C\right| \\ \\ \ln \left| \frac{y}{C} \right| = -x \\ \frac{y}{C} = e^{-x} \\ y=Ce^{-x}}\)

Źródło: plik SIMR_WRR_02_2013.pdf strona 18. Trzeba go sobie wyguglać.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

Post autor: yorgin » 26 cze 2013, o 22:22

Smarki pisze: Tylko nie wiem dlaczego po scałkowaniu stała C jest w logarytmie.
Źródło: plik SIMR_WRR_02_2013.pdf strona 18. Trzeba go sobie wyguglać.
To się nazywa wzór na różnicę logarytmów.

Wszyscy poprzednicy oczywiście mają rację, jednak zapomnieli o jednym. Pisząc
\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}}\)
nie można napisać \(\displaystyle{ C\in \RR}\) po przeprowadzeniu wcześniejszych rozumowań. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ y\equiv 0}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego, dopiero teraz można napisać, że dla \(\displaystyle{ C=0}\) mamy \(\displaystyle{ y(x)=0}\) i jest to rozwiązanie, a więc pełna rodzina rozwiązań to
\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}, \qquad C\in \RR}\).

ODPOWIEDZ