Błąd w równaniu różniczkowym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: wiskitki » 30 sie 2011, o 08:41

\(\displaystyle{ x^3y+y+xy^3 \frac{dy}{dx}-x \frac{dy}{dx} =0 \\ y(x^3+1)+x \frac{dy}{dx}(y^3-1)=0 \\ x \frac{dy}{dx}(y^3-1)=-y(x^3+1) \\ \frac{y^3-1}{y}dy= \frac{x^3+1}{x}dx}\)
Czemu w ostatniej linijce zniknął minus? Takie rozw. jest w książce ni nie wiem czy nie ma czasem błędu :O
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 08:43 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: Karoll_Fizyk » 30 sie 2011, o 09:53

Prześledźmy rozwiązanie tego równania bez minusa:
\(\displaystyle{ \frac{y ^{3} - 1 }{y} \mbox{d}y = \frac{x ^{3} + 1 }{x} \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} y ^{2} \mbox{d}y - \int_{}^{} \frac{1}{y} \mbox{d}y = \int_{}^{} x ^{2} \mbox{d}x + \int_{}^{} \frac{1}{x} \mbox{d}x}\)
Rozwiązaniem całek jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} y ^{3} - \ln \left| y \right| = \frac{1}{3} x ^{3} + \ln \left| x \right| + C _{1}}\)
Zwróćmy uwagę na stałą \(\displaystyle{ C _{1}}\)..., aby wszystko było poprawnie (chodzi mi szczególnie o przywrócenie minusa), musimy opisać tę stałą:
Proponuję taki opis...
\(\displaystyle{ C _{1} = - 2 \left( \frac{1}{3} x ^{3} + \ln \left| x \right| \right) + C _{2}}\)
Podstawiając tę stałą, dalej będziemy otrzymywali rezultat taki, jaki otrzymywalibyśmy z minusem na samym początku.
Wniosek: Minusy i inne stałe czynniki, możemy chować w stałych całkowania, dla ułatwienia obliczeń.

Pozdrawiam!

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: » 30 sie 2011, o 11:07

wiskitki pisze:nie wiem czy nie ma czasem błędu
Jest błąd, minus powinien być.

Wywody Karola są błędne, łatwo to prześledzić na prostszym przykładzie \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=-1}\), którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y=-x+C}\), a pozbycie się minusa daje nam inne rozwiązanie \(\displaystyle{ y=x+C}\). Błąd Karola polega na tym, że za stałą podstawia funkcję, co oczywiście jest bez sensu.

Q.

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: Karoll_Fizyk » 30 sie 2011, o 14:32

1. \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = -1}\)
\(\displaystyle{ y(x) = -x + C _{1}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = 1}\)
\(\displaystyle{ y(x) = x + C _{2}}\)
Oczywiście, że jest tu błąd względem równania początkowego, ale da się go unieszkodliwić, opisując stałą...
\(\displaystyle{ C _{2} = - 2x + C _{1}}\)
\(\displaystyle{ y(x) = -x + C _{1}}\)
"Coś, co jest bez sensu, ale działa, jest z sensem"

Można zrobić to w inny sposób:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = -1}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}y = - \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ y(x) = - C _{1} \cdot x}\)
...kto nam zabroni stałą wstawić w to miejsce...?
Wtedy podstawiamy kolejną stałą, aby ukryć minusa...
\(\displaystyle{ y(x) = C _{2} \cdot x}\)

...i tym podkreślam, że w twoim równaniu wiskitki, nie ma błędu...

Pozdrawiam!

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: » 30 sie 2011, o 15:56

Karoll_Fizyk pisze: \(\displaystyle{ y(x) = x + C _{2}}\)
Oczywiście, że jest tu błąd względem równania początkowego, ale da się go unieszkodliwić, opisując stałą...
\(\displaystyle{ C _{2} = - 2x + C _{1}}\)
\(\displaystyle{ y(x) = -x + C _{1}}\)
Nie, nie można tak robić. Nie możesz za stałą podstawić wyrażenia zależnego od \(\displaystyle{ x}\), bo wtedy przestaje ona być stałą. Możesz zresztą podstawić sobie rzekome "rozwiązanie" \(\displaystyle{ y=x+C_2}\) do równania \(\displaystyle{ y'=-1}\) i sprawdzić, że ta funkcja tego równania nie spełnia.
Można zrobić to w inny sposób:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = -1}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}y = - \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ y(x) = - C _{1} \cdot x}\)
Nie, rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ y= -x+C}\).

Nie jest grzechem nie umieć analizy matematycznej, ale jeśli się nie umie, to lepiej nie mieszać innym ludziom pisząc rzeczy zupełnie błędne.

Q.

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Błąd w równaniu różniczkowym

Post autor: wiskitki » 31 sie 2011, o 14:04

Chyba jednak był błąd, bo inny przykład jest podobnie rozwiązany i tego minusa nie pominięto

ODPOWIEDZ