[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: tometomek91 » 29 sie 2011, o 21:52

Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg opisany na tym trójkącie w punktach \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_3}\) odpowiednio. Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AC}\), przechodząca przez incentrum tego trójkąta, przecina prostą \(\displaystyle{ W_1W_3}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ PB}\) jest styczną do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ B}\).

-- 30 sie 2011, o 00:43 --
Moj pomysł:    

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: KPR » 30 sie 2011, o 19:10

Moje rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 19:24 przez KPR, łącznie zmieniany 1 raz.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: tometomek91 » 30 sie 2011, o 19:22

KPR pisze:...przeliczenia na kątach pokazują, że \(\displaystyle{ \angle CBP=\angle CBA}\)
mógłbyś wyjaśnić?

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: KPR » 30 sie 2011, o 19:23

Komentarz do twojego:
Ukryta treść:    
-- 30 sie 2011, o 19:23 --
tometomek91 pisze:
KPR pisze:...przeliczenia na kątach pokazują, że \(\displaystyle{ \angle CBP=\angle CBA}\)
mógłbyś wyjaśnić? może miała być połowa?
Jest źle. Z prawej powinno być CAB.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: tometomek91 » 30 sie 2011, o 19:35

KPR pisze:Komentarz do twojego:
Ukryta treść:    
Chyba nie.. Niech ta równoległa prosta przecina okrąg w K i L (K leży na krótszym łuku AB), wtedy
\(\displaystyle{ \angle ACO = \angle COL =\angle KOW_3}\) mamy dalej \(\displaystyle{ OW_3=W_3B}\), \(\displaystyle{ \angle BW_3P = \angle OW_3P}\) wiec z przystawania \(\displaystyle{ OW_3P}\) i \(\displaystyle{ BW_3P}\) mamy, że \(\displaystyle{ \angle PBW_3 = \angle ACW_3 = \angle W_3CB = \angle W_3W_2B}\) i cecha kkk.

-- 30 sie 2011, o 19:38 --
KPR pisze:\(\displaystyle{ \angle CBP=\angle CAB}\)
dalej nie wiem skąd ta równość.. wg mnie jest tylko taka zależność: \(\displaystyle{ \angle CBP + \angle CAB =180}\)

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: KPR » 30 sie 2011, o 19:55

Jeżeli rzeczywiście stąd wynika to podobieństwo, to masz rozwiązane.

A co do mojego, to trzeba policzyć kąty \(\displaystyle{ XPB}\) i \(\displaystyle{ BXP}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przecięciem \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ W_1W_3}\). Stąd mamy kąt \(\displaystyle{ XBP}\), czyli \(\displaystyle{ CBP}\).

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: tometomek91 » 30 sie 2011, o 19:59

KPR, nie widzę tego jeszcze, mógłbyś pokazać Twoje rozwiązanie? Dzięki z góry

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: KPR » 30 sie 2011, o 20:13

Ukryta treść:    

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: tometomek91 » 30 sie 2011, o 20:22

Masz gdzieś błąd, bo można udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle XBP=180 - 2\alpha}\). ;p

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Planimetria] Łatwa geometria: wykazać, że prosta jest styczną..

Post autor: KPR » 30 sie 2011, o 20:28

Nie mam błędu, tylko u mnie punkt P leży z drugiej strony

ODPOWIEDZ