szereg fouriera wg. cosinusów

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
makintosh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 sie 2011, o 14:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: makintosh » 29 sie 2011, o 21:24

podany szereg rozwiń wg. cosinusów : \(\displaystyle{ f(x)=x( \pi -x)}\) w \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]}\)


o co chodzi w tym zadaniu ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: szw1710 » 29 sie 2011, o 21:40

O to, aby w szeregu Fouriera pojawiły się same cosinusy, tzn. aby mieć

\(\displaystyle{ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\,.}\)

Wyrazy z sinusami muszą się więc wyzerować. Funkcja rozwijana w szereg Fouriera musi więc być parzysta w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi].}\)

Według cosinusów w szereg Fouriera rozwijają się w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) funkcje parzyste. Więc trzeba formalnie rozszerzyć w sposób parzysty naszą funkcję na przedział \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) i w nim zastosować wzory na zwykłe współczynniki Fouriera. Tu więc będziesz mieć

\(\displaystyle{ a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nx dx}\)

Aby zastosować te wzory, oczywiście niczego innego nie trzeba robić, tylko całkować. Pisałem więc o formalnym rozszerzaniu.

Nie zawsze funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Fourierowskiemu. Musi spełniać warunki Dirichleta. Dlatego pisałem \(\displaystyle{ \sim}\) zamiast znaku równości. Sprawdź spełnienie warunków Dirichleta przez naszą funkcję.

makintosh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 sie 2011, o 14:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: makintosh » 29 sie 2011, o 21:43

ok, dzięki, może dam sobie z tym radę !

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: szw1710 » 29 sie 2011, o 21:46

Pewnie, że dasz Masz tu tylko całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}x\cos nxdx}\) oraz \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}x^2\cos nxdx,}\) co łatwo obliczysz przez części.

makintosh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 sie 2011, o 14:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: makintosh » 29 sie 2011, o 21:51

a mógłbyś mi rozwiązać całe to zadanie ? ładnie proszę ;p

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: szw1710 » 29 sie 2011, o 21:56

Nie mógłbym, całki są łatwe, a gotowców nie daję w tak prostych rzeczach. Inna sprawa np. w skomplikowanej analizie funkcjonalnej, topologii itp. Ale dam wskazówkę: temat jest dość szczegółowo omówiony w książce Krysickiego. Zobacz w II tomie ostatni paragraf na str. 317. Przeczytaj ze zrozumieniem. I potem połowę strony 318. Powinno to wiele wyjaśnić.

makintosh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 sie 2011, o 14:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

szereg fouriera wg. cosinusów

Post autor: makintosh » 29 sie 2011, o 21:57

ok, dzięki ! mam nadzieję, że ogarne ;p

ODPOWIEDZ