Obliczyć objętość obszaru

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 19:17

Obliczyć (we współrzędnych sferycznych) objętość obszaru \(\displaystyle{ V}\)określonego nierównościami
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 2az,\ z \le \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 19:22

Jak będzie wyglądał ten obszar?

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 19:46

Myślę że tak to będzie wyglądać, ale pewny nie jestem

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 19:51

Dobrze. Określ teraz granice całkowania.

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 20:05

\(\displaystyle{ \begin{cases}0\leq \varphi \leq 2\pi\\0\leq R \leq 2a\cos\theta\end{cases}}\)
Nie bardzo wiem jak wyznaczyć/odczytać \(\displaystyle{ \theta}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 20:34 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: cosinus: \cos

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 20:58

\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{ \pi }{4}}\)

W jaki sposób otrzymałeś takie granice dla \(\displaystyle{ R}\)?

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 21:24

Po przekształceniu pierwszej nierówności i skorzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia dostajemy promień kuli, który wynosi \(\displaystyle{ a}\). Następnie skorzystałem z f. trygonometrycznych i wyszło mi \(\displaystyle{ 2a\cos\theta}\)

Nie bardzo rozumiem skąd wziąłeś te granice dla \(\displaystyle{ \theta}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 21:31

Nie bardzo rozumiem skąd wziąłeś te granice dla \(\displaystyle{ \theta}\)
Można to odczytać bezpośrednio z rysunku. Analitycznie - rozwiązując układ tych dwóch nierówności. W taki sam sposób można dojść do tego, że:

\(\displaystyle{ 0\leq R \leq 2a\sin\theta}\)

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 21:39

Rozwiązując układ nierówności nadal wychodzi mi wynik z \(\displaystyle{ \cos}\), a nie z \(\displaystyle{ sin}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 21:46

Może przyjęliśmy dwa różne systemy. Ja liczyłem wg. systemu "geograficznego".

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 21:54

Faktycznie korzystamy z różnych systemów. Ja korzystam z "matematycznego". Ale i tak po uwzględnieniu granic całkowania wynik mi wychodzi inny niż w odpowiedziach (\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} a^{3}}\))

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 21:59

Ja korzystam z "matematycznego"
W takim razie:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \theta \le \frac{ \pi }{2}}\)-- 29 sierpnia 2011, 21:59 --
wychodzi inny niż w odpowiedziach \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{3} a^{3})}\)
taki wychodzi

Hispo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 23 lut 2011, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: Hispo » 29 sie 2011, o 22:18

Możesz mi wytłumaczyć w jaki sposób odczytujesz z rysunku \(\displaystyle{ \theta}\).

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość obszaru

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 22:33

Interesujący nas obszar znajduje się między powierzchnią stożka (nachylenie \(\displaystyle{ 45}\) stopni) i płaszczyzną \(\displaystyle{ z = 0}\). Zgodnie z przyjętym przez Ciebie systemem jednym z ramion kąta \(\displaystyle{ \theta}\) jest dodatnia półoś 0Z. Licząc od tej półosi otrzymujemy taki właśnie zakres kąta \(\displaystyle{ \theta}\)

ODPOWIEDZ