Rozwiąż równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: kamil13151 » 29 sie 2011, o 16:11

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in C}\).

Moje rozwiązanie:
Obustronnie dzielimy przez \(\displaystyle{ \cos x}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \tg x +1=0}\)
Czy takie dzielenie jest prawidłowe?

Jeżeli mielibyśmy rozpatrywać to w \(\displaystyle{ R}\), to wtedy bym nie mógł podzielić przez \(\displaystyle{ \cos x}\), jednak jak podzielimy przez \(\displaystyle{ \sin x}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \ctg x +1=0}\)
Czy rozwiązując powyższą równość będzie ona równoważna z wyjściową?

Jak jeszcze można rozwiązać powyższe równości?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 16:14

Dzieląc przez cosinusa zakładasz że \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\). Potem musisz sprawdzić co dzieje się gdy ta równość zachodzi.

Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Erurikku » 29 sie 2011, o 16:14

Łatwiejsza metoda: stworzyć układ równań razem ze wzorem na jedynkę trygonometryczną - a potem go rozwiązać.
\(\displaystyle{ \sin^{2}x + \cos^{2} x = 1}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 16:22 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: bakala12 » 29 sie 2011, o 16:46

Jeżeli mielibyśmy rozpatrywać to w \(\displaystyle{ R}\), to wtedy bym nie mógł podzielić przez \(\displaystyle{ \cos x}\),
Prawda.
Jeżeli chcesz dzielić przez sinus to też musi być on różny od zera tzn. \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 16:49

Mógłby podzielić, tylko musiałby sprawdzić, czy przypadkiem równanie nie jest spełnione dla iksów, które wyklucza z dziedziny, dzieląc.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: bakala12 » 29 sie 2011, o 16:58

Teraz zauważyłem jeszcze inne proste rozwiązanie. Po co dzielić, lepiej zrobić tak
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 17:04

Można też skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x}= \sqrt{2}\sin{ \left( x+ \frac{\pi}{4} \right) }}\)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: bakala12 » 29 sie 2011, o 17:07

ares41, dobra twój pomysł bije wszystko na głowę. Wygrałeś bitwę na najsprytniejsze rozwiązanie. Pozdrawiam

ODPOWIEDZ