objetosc bryly wycietej z polowy walca

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 29 sie 2011, o 12:44

witam, mam takie zadnie, z ktorym nie potrafie sobie poradzic:

'oblicz objętość bryły wyciętej z połowy walca
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \le 9}\), \(\displaystyle{ x \le 0}\)

powierzchniami

\(\displaystyle{ z=0 z= -x^{3}}\)

wsk. zastosuj współrzędne biegunowe'

prosilbym o pomoc i w miare mozliwosci wytlumaczenie.
nie mam pojecia jak sie za to zabrac

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: scyth » 30 sie 2011, o 10:06

Narysuj lub wyobraź sobie, co to będzie. Potem wyznacz granice całkowania. I całkuj.

Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 30 sie 2011, o 18:36

ale w jaki sposob mam wyobrazic sobie walec

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \le 9}\)

nie wiem jak sobie to wyobrazic

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 18:44

nie wiem jak sobie to wyobrazic
Walec, o promieniu podstawy równym \(\displaystyle{ 3}\), którego osią jest oś \(\displaystyle{ 0z}\)

Podpowiem jeszcze, że obszarem całkowania będzie połowa koła: \(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} \le 9}\), znajdująca się w trzeciej i czwartej ćwiartce ukł. wsp.

Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 4 wrz 2011, o 16:14

moglby ktos rozpisac mi te calke? zupelnie nie wiem jak.

pzdr.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 16:30

Korekta:
połowa koła: \(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} \le 9}\), znajdująca się w trzeciej i czwartej ćwiartce ukł. wsp.
Druga i trzecia ćwiartka oczywiście.

Granice dla \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\):

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 3 \\ \frac{ \pi }{2} \le \varphi \le \frac{3}{2} \pi}\)

Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 4 wrz 2011, o 18:16

zatem bedzie to wygladalo w ten sposob?

\(\displaystyle{ \int_{3}^{0} \int_{ \frac{3}{1}\pi }^{ \frac{ \pi }{2} } rd \phi dr}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 18:31

Nie do końca. Zapomniałeś o funkcji podcałkowej. Popraw też granice. Ustawiłeś je odwrotnie.

Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 4 wrz 2011, o 18:54

ok, zatem czy to tak?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} \int_{ \frac{ \pi }{2} }^{\frac{3}{1}\pi }r \cos ^{2}\phi\cdot r \sin ^{2}\phi \cdot r\,\text d \phi\, \text{d}r}\)

zupelnie nie wiem jak to ugryzc, a nawet ułożyć
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 19:39 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: zapis funkcji trygonometrycznych - punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 20:27

\(\displaystyle{ z = -x ^{3} = - r ^{3} \cos ^{3}\phi \\ \\ \int_{ \frac{ \pi }{2}}^{\frac{3}{2}\pi } \left ( - \int_{0}^{3}r ^{4} \cos ^{3}\phi \text{d}r \right ) \text{d} \phi}\)

Awatar użytkownika
stachos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 13 lis 2007, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Torun
Podziękował: 5 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: stachos » 4 wrz 2011, o 20:46

wszystko jasne : )

mam jeszcze pytanie, w jaki sposob określa się zmianę kąta:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \varphi \le \frac{3}{2} \pi}\)

w jaki sposob to ustalić?

pzdr.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

objetosc bryly wycietej z polowy walca

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 21:34

z rysunku i z nierówności:

\(\displaystyle{ -3 \le 3 \cos \varphi \le 0 \\ -3 \le 3 \sin \varphi \le 3}\)

ODPOWIEDZ