Rozwiązać w liczbach pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Rozwiązać w liczbach pierwszych

Post autor: wiskitki » 29 sie 2011, o 11:32

Rozwiązać w liczbach pierwszych równanie \(\displaystyle{ x^2-30y^2=1}\). Doszedłem tylko do tego: \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)=30y^2}\) i nie wiem co dalej.

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Rozwiązać w liczbach pierwszych

Post autor: xanowron » 29 sie 2011, o 11:42

Zwróć uwagę na to kiedy lewa i prawa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozwiązać w liczbach pierwszych

Post autor: fon_nojman » 29 sie 2011, o 11:42

1) \(\displaystyle{ x=2}\)
...

2) \(\displaystyle{ x \neq 2}\) wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzysty czyli \(\displaystyle{ (x+1), (x-1)}\) są parzyste. Stąd i z \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)=30y^2}\) mamy, że \(\displaystyle{ y}\) jest parzyste.

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Rozwiązać w liczbach pierwszych

Post autor: wiskitki » 29 sie 2011, o 12:26

Ale skąd mam wiedzieć, kiedy podstawiac x=2, czy może mogę sobie podstawić dowolną liczbę? Sorki za głupie pytania, ale dopiero zaczynam się tego uczyć

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Rozwiązać w liczbach pierwszych

Post autor: xanowron » 29 sie 2011, o 13:19

Zauważ, że prawa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) więc lewa też musi być parzysta, czyli \(\displaystyle{ x}\) musi być nieparzysta. No ale jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste, to lewa strona jest podzielna co najmniej przez \(\displaystyle{ 4}\) (bo mamy iloczyn dwóch parzystych liczb) więc \(\displaystyle{ y}\) musi być parzyste, czyli \(\displaystyle{ y=2}\). Reszta jest już trywialna.

ODPOWIEDZ