Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 11:29

Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ F(x,y)=\arctan \frac{y}{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})=(3,4)}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{h}=(-4,-3)}\).
Jak to zrobić?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 11:34

Z definicji mamy:
\(\displaystyle{ \nabla_{[a,b]}f(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot [a,b]}\)
Policz więc najpierw \(\displaystyle{ \nabla f(x,y)}\)

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 11:41

My uczylismy sie na takim wzorze
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial \vec{h} } (3,4)= \lim_{ t\to 0} \frac{F(3-4t,4-3t)-F(3,4)}{t} =}\)
tylko nie wiem jak dalej

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 12:34

No to ile to jest \(\displaystyle{ F(3-4t,4-3t)}\) ?

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 12:53

\(\displaystyle{ \arctan \frac{3}{4}}\) czyli ogolnie wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 12:58

Nie.
\(\displaystyle{ F(3-4t,4-3t)=\arc \tg { \frac{4-3t}{3-4t} }}\)
Obliczając granicę dochodzimy do symbolu nieoznaczonego \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\).
Skorzystaj więc z reguły de L'Hospitala.

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 13:19

\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{0}{t} =\boxed{\frac{0}{0}}\stackrel{[H]}{=} \lim_{ t\to 0 } \frac{(0)'}{(t)'} = \lim_{ t\to 0} \frac{0}{1} =0}\)???

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 13:22

Nie. Jak oblicza się granice korzystając z reguły de L'Hospitala?

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 13:32

liczymy pochodna z licznika i mianownika

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: bartek118 » 29 sie 2011, o 13:33

No to policz pochodną licznika i mianownika

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 13:38

[quote="Anka20"]liczymy pochodna z licznika i mianownika[/quote]
A czy to twierdzenie mówi, że do licznika, przed zróżniczkowaniem, wrzucamy policzoną już (błędnie) granicę licznika?

Przecież mamy tutaj do policzenia granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\arc \tg { \frac{4-3t}{3-4t} }-\arc \tg {\frac{4}{3}}}{t}}\)
więc zastosuj tutaj regułę de L'Hospitala.

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 13:58

nie wiem jak obliczyc ta pochodna

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 13:58

Jak liczy się pochodne funkcji złożonej?

Anka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 16 lut 2010, o 15:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 10 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: Anka20 » 29 sie 2011, o 14:15

\(\displaystyle{ \left( \arctan \frac{4-3t}{3-4t} - \arctan \frac{4}{3} \right) '= \frac{1}{1+ \left( \frac{4-3t}{3-4t} \right) ^{2} } -0}\) ale w tym pierwszym jeszcze będzie \(\displaystyle{ \cdot}\) cos ale nie wiem co (\(\displaystyle{ -3}\)?) prosze o pomoc
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 14:22 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 14:38

Ile wynosi pochodna z
\(\displaystyle{ \arctan \frac{4-3t}{3-4t}}\) ?
Rozpisz to krok po kroku.

ODPOWIEDZ