Oblicz granicę funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 21:35

strona lewa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{-} } \frac{-x+1}{x-1}=-1}\)
strona prawa:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 ^{+} } \frac{x-1}{x-1}=1}\)
Dlaczego tu zmieniasz znak w liczniku?

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 30 sie 2011, o 21:37

No dlatego:
\(\displaystyle{ \left| x-1\right|= \begin{cases} x-1 x \ge 1 \\ -x+1 x<1\end{cases}}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 21:40

Nie o to mi chodzi. Dlaczego zmieniasz znak drugi raz przy liczeniu granicy prawostronnej?

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 30 sie 2011, o 21:45

Przy lewostronnej mamy \(\displaystyle{ 0 ^{-}}\) czli są to liczby na pewno mniejsze od 1 więc z tej rozpiski liczby bezwzględnej robię \(\displaystyle{ -x+1}\) natomiast przy stronie prawej bierzemy \(\displaystyle{ 0 ^{+}}\) a jeżeli bierzemy pod uwagę liczby \(\displaystyle{ \ge 1}\) to z rozpiski liczby bezwzględnej mamy już nie \(\displaystyle{ -x+1}\) a \(\displaystyle{ x-1}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 21:55

\(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{+}}\) znaczy, że zbliżamy się do zera z prawej strony po liczbach dodatnich, bardzo bliskich wartości zero, a więc na pewno mniejszych od jedności.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 30 sie 2011, o 21:57

aha czyli w obu przypadkach będzie wynik -1 i co za tym idzie granica istnieje?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 22:04

Tak.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 30 sie 2011, o 22:14

A to dobrze zrobiłem:
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} \frac{x ^{3}+8 }{x ^{2}-4 }, x<-2 \\3x+8, x>-2 \end{cases} x _{0}=-2}\)
strona lewa:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-2 ^{-} }\frac{x ^{3}+8 }{x ^{2}-4 }=\lim_{x \to-2 ^{-} } \frac{(x+2)(x ^{2}-2x+4) }{(x-2)(x+2)}= \frac{12}{-4}=-3}\)
strona prawa:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-2 ^{+} }3x+8=2}\)
\(\displaystyle{ -3 \neq 2 \Rightarrow}\)brak granicy

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 30 sie 2011, o 22:18

Dobrze.

ODPOWIEDZ