Oblicz granicę funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 11:07

Liczę granicę funkcji dla takiego przykładu.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-2 } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }}\)
Robię podobnie jak w innych:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }x _{n}, x _{n} \neq -2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }}\)
I teraz bym podstawił \(\displaystyle{ -2}\) za \(\displaystyle{ x}\) i policzył ale w mianowniku wyszło by zero. Zacząłem więc kombinować jak to skrócić, przekształcić z licznikiem by zero nie wychodziło (w innych przykładach się tak dawało) ale tu nic cały czas zero co bym nie robił... jak to rozwiązać?

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: kamil13151 » 29 sie 2011, o 11:12

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-2 } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }=\lim_{ x\to-2 } \frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x^2-2x+4) }}\)

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Lbubsazob » 29 sie 2011, o 11:13

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-2 } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), więc możesz zastosować regułę de l'Hospitala.

Natomiast jeśli chodzi o granicę ciągu \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2}+n-2 }{n ^{3}+8 }}\), to możesz wyłaczyć \(\displaystyle{ n^2}\) w liczniku i mianowniku, wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 11:26 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Crizz » 29 sie 2011, o 11:21

Lbubsazob pisze:Natomiast jeśli chodzi o granicę ciągu \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }}\)
Tylko gdzie ten ciąg? Ogólnie to Giks, nie rozumiem, w jaki sposób chciałeś policzyć granicę funkcji granicą ciągu w tym zadaniu, bo zapis \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{x ^{2}+x-2 }{x ^{3}+8 }}\) w zasadzie nie ma sensu - pod znakiem granicy nie ma żadnego \(\displaystyle{ n}\). W każdym razie, jak masz iloraz dwóch wielomianów i wychodzi symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) to na bank można coś skrócić.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 12:10

A takie coś też da się jakoś skrócić by nie wychodziło zero?:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 } \frac{x ^{10}-1 }{x ^{15}-1 }}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 12:12

\(\displaystyle{ x ^{5} = p}\)

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 12:52

Tak:
\(\displaystyle{ p=x ^{5}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 } \frac{x ^{10} -1}{x ^{15}-1 }=\lim_{ x\to1 } \frac{p ^{2}-1 }{p ^{3}-1 }=\lim_{ x\to1 } \frac{(p-1)(p+1)}{(p-1)(p ^{2}+p+1) }= \frac{2}{3}}\)?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 13:02

Wynik dobry. Zamień zmienną również w granicy.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 13:18

Mam też kilka przykładów na obliczenie granicy funkcji gdzie wyglądają one nie tak jak poprzednio czyli: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 }}\) a \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }}\) czyli zamiast jakiejś liczby jest nieskończoność. Wtedy te granice oblicza się jak granice ciągów nie podstawia się nic za x jak w poprzednich przykładach?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 13:30

To zależy od rodzaju funkcji. Wrzuć jakiś przykład.

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: xanowron » 29 sie 2011, o 13:30

W ciągach też możesz czasem coś podstawić, ale generalnie to jest tak jak mówisz, większość takich przykładów robi się identycznie jak granice ciągów. W razie problemów wrzuć swoje rozwiązania.

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 13:38

Tutaj mam taki przykład tylko jego akurat nie wiem trochę też jak ruszyć gdyby to był ułamek to zrobił bym jak w granicy ciągu powyciągał \(\displaystyle{ x}\), poskracał i by wyszło ale jak to zrobić nie wiem:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \sqrt{x ^{2}+1 }- \sqrt{x ^{2}-1 } \right)}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 17:08 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 13:40

pomnóż i podziel przez sprzężenie

Giks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 24 lis 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława

Oblicz granicę funkcji

Post autor: Giks » 29 sie 2011, o 13:56

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \sqrt{x ^{2}+1 }- \sqrt{x ^{2}-1 } \right) =\lim_{ x\to \infty } \sqrt{x ^{2}+1 }- \sqrt{x ^{2}-1 } \cdot \frac{\sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}{ \sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}=\lim_{ x\to \infty } \frac{x ^{2}+1-(x ^{1}-1) }{\sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}= \frac{2}{\sqrt{x ^{2}+1 }+ \sqrt{x ^{2}-1 }}}\)
O to chodzi?
Jeśli tak to teraz bym wyciągną iksy tak by się skróciły, licznik wyjdzie zero więc i cała granica będzie równa zero. Dobrze?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 17:08 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. \lim

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Oblicz granicę funkcji

Post autor: aalmond » 29 sie 2011, o 14:00

To znaczy tak. Iksy możesz wyciągnąć. Natomiast nie będą miały się z czym skrócić. Granica rzeczywiście będzie zero, ponieważ w liczniku jest stała, a mianownik dąży do nieskończoności.

ODPOWIEDZ