Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.

Post autor: Ola964 » 29 sie 2011, o 03:57

Zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \rho}\) będzie reprezentacją grupy cyklicznej rzędu 6 wyznaczoną przez odwzorowanie \(\displaystyle{ 1 \longmapsto \left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right]}\).

Dodatkowe punkty do zadania:
1. Stosując teorię charakterów sprawdź, czy \(\displaystyle{ \rho}\) jest rozkładalna. Jeśli jest, to rozłóż ją na sumę prostą podreprezentacji nierozkładalnych.
2. Znaleźć macierze reprezentacji w nowej bazie, będącej sumą baz znalezionych podprzestrzeni niezmienniczych.
3. Czy dwuwymiarowa reprezentacja grupy cyklicznej może być nierozkładalna?
4. Ile nierozkładalnych reprezentacji ma skończona grupa cykliczna?

marcinz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.

Post autor: marcinz » 29 sie 2011, o 11:47

Zacznijmy od 1. Ta reprezentacja jest dwuwymiarowa, więc podreprezentacje mogą być tylko jednowymiarowe. Potrafisz ich poszukać?

Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.

Post autor: Ola964 » 9 wrz 2011, o 16:26

Właściwie to kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie. Czy można oznaczyć tą macierz jako B i wtedy znajduje się taką macierz A, żeby zachodziła równość: \(\displaystyle{ A^{-1}BA}\) ? Kompletnie nie mam pojęcia.

marcinz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Sprawdzić, czy reprezentacja jest rozkładalna.

Post autor: marcinz » 10 wrz 2011, o 15:48

Nie napisałaś o jaką równość Ci chodzi. Ja proponuję skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \rho}\) zadaje strukturę \(\displaystyle{ G-\text{modułu na } \mathbb{C}^2}\) (założyłem, że rozważasz reprezentacje nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)). Podreprezentacja właściwa jest jednowymiarowa. Musisz więc sprawdzić czy znajdziesz taki wektor, że \(\displaystyle{ \rho(1)(v) \in span(v)}\).

ODPOWIEDZ