Ideał, kongruencja, pierścień ilorazowy.

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Ideał, kongruencja, pierścień ilorazowy.

Post autor: Ola964 » 29 sie 2011, o 02:18

Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ T}\) wielomianów w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]}\) , których wyraz wolny jest liczbą parzystą jest ideałem w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]}\). Opisać kongruencję \(\displaystyle{ \Theta}\) pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]}\) wyznaczoną przez ideał \(\displaystyle{ T}\) oraz pierścień ilorazowy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]/ \Theta}\). Czy pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]/ \Theta}\) jest pierścieniem Euklidesa?

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Ideał, kongruencja, pierścień ilorazowy.

Post autor: Spektralny » 29 sie 2011, o 15:33

Suma dwóch liczb parzysta jest parzysta.
Iloczyn dowolnej liczby całkowitej przez liczbę parzystą jest parzysty.
Wielomian \(\displaystyle{ z(x)\equiv 1}\) nie należy do \(\displaystyle{ T}\)

Te trzy proste obserwacje pokazują, że \(\displaystyle{ T}\) jest ideałem.

Kongruencja taka jak zawsze: Dwa wielomiany są równoważne w jej sensie wtedy i tylko wtedy, gdy ich różnica należy do \(\displaystyle{ T}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ T}\) jest ideałem maksymalnym, czyli pierścień ilorazowy jest ciałem, więc tymbardziej jest pierścieniem Euklidesowym.

ODPOWIEDZ