Prawo rozkładania kwantyfikatorów

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
filolaos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 28 sie 2011, o 21:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 2 razy

Prawo rozkładania kwantyfikatorów

Post autor: filolaos » 28 sie 2011, o 21:53

Mam pytanie: czy z formuły \(\displaystyle{ \forall x\exists y\((R(x, y) \to P(x))}\) wynika formuła
\(\displaystyle{ \forall x\exists y\ R(x, y)\to \forall x\ P(x)}\) ?
Z jednej strony mamy kwantyfikator ogólny, ale w pierwszej formule wszystkie zmienne są również w zasięgu kwantyfikatora egzystencjalnego.
Gdyby ktoś mógł mi pomóc, byłbym wdzięczny

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26949
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4508 razy

Prawo rozkładania kwantyfikatorów

Post autor: Jan Kraszewski » 29 sie 2011, o 00:35

Nie wynika.

1. Niech zmienne \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{N}}\).
2. Zauważ, że formuła \(\displaystyle{ \forall x\exists y(R(x, y) \to P(x))}\) jest równoważna formule \(\displaystyle{ \forall x((\forall y R(x, y)) \to P(x))}\).
3. Niech \(\displaystyle{ R(x,y)=(x\le y)}\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x=0)}\). Wtedy zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}((\forall y\in \mathbb{N}\ x\le y) \to x=0)}\) jest prawdziwe.
4. Z kolei zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}\ \exists y\in \mathbb{N}\ x\le y\to \forall x\in \mathbb{N}\ x=0}\) jest fałszywe.

JK

filolaos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 28 sie 2011, o 21:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 2 razy

Prawo rozkładania kwantyfikatorów

Post autor: filolaos » 29 sie 2011, o 07:20

Bardzo dziękuję za pomoc
F.

ODPOWIEDZ