Równanie liniowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
peterus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Równanie liniowe

Post autor: peterus90 » 28 sie 2011, o 20:52

mam problem z takim równaniem \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{y^4}}\)
rozwiązuje najpierw równanie \(\displaystyle{ y'=- \frac{y}{x}}\) wychodzi z tego \(\displaystyle{ y= \frac{1}{Cx}}\) i tutaj zaczyna mi się robić jakiś nieład. Stosuję metodę uzmienniania czyli liczę pochodną tego wyniku. A pochodna wychodzi mi jakaś dziwna gdyż \(\displaystyle{ y'= \frac{-(c(x)'x^2+2c(x)x)}{(cx)^2}}\) Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć co z tym zrobić?

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

Równanie liniowe

Post autor: kolorowe skarpetki » 28 sie 2011, o 20:55

Twoje równanie to równanie Bernoulliego a nie równanie liniowe.

peterus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Równanie liniowe

Post autor: peterus90 » 28 sie 2011, o 21:00

hmm a jak się za to zabrać?

-- 28 sie 2011, o 21:21 --
peterus90 pisze:mam problem z takim równaniem \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\)
rozwiązuje najpierw równanie \(\displaystyle{ y'=- \frac{y}{x}}\) wychodzi z tego \(\displaystyle{ y= \frac{1}{Cx}}\) i tutaj zaczyna mi się robić jakiś nieład. Stosuję metodę uzmienniania czyli liczę pochodną tego wyniku. A pochodna wychodzi mi jakaś dziwna gdyż \(\displaystyle{ y'= \frac{-(c(x)'x^2+2c(x)x)}{(cx)^2}}\) Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć co z tym zrobić?
sory błąd był w równaniu teraz jest poprawione, ale nadal nie wiem jak to zrobić...

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Równanie liniowe

Post autor: Karoll_Fizyk » 28 sie 2011, o 23:05

A jeżeli już wiesz, że jest to równanie Bernoulliego, to dalej sobie poradzisz?
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } + p(x) \cdot y = q(x) \cdot y ^{n}}\)

peterus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Równanie liniowe

Post autor: peterus90 » 28 sie 2011, o 23:30

\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\) to chyba nie jest równanie Bernoulliego... w pierwszej wypowiedzi źle napisałem równanie.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Równanie liniowe

Post autor: aalmond » 28 sie 2011, o 23:55

Rozdzielenie zmiennych a potem metoda uzmienniania stałej.

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Równanie liniowe

Post autor: Karoll_Fizyk » 29 sie 2011, o 16:52

Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\)
Najpierw liczymy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = 0}\)
Rozdzielamy zmienne i liczymy...
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = - \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}y }{y} = - \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| y \right| = - \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ y(x) _{0} = \frac{C _{1} }{x}}\)
Uzmienniamy stałą...
\(\displaystyle{ C _{1} = C _{1} (x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y _{0} }{ \mbox{d}x } = \left( \frac{C _{1} }{x} \right) ' = \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} }}\)
Wstawiamy te pochodną i pierwsze rozwiązanie do równania początkowego:
\(\displaystyle{ \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} } + \frac{C _{1} }{x ^{2} } = \frac{2}{x ^{4} }}\)
Po zredukowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ C _{1}(x) = - \frac{1}{2x ^{2} }}\)
Teraz układamy rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{C _{1} }{x} - \frac{1}{2x ^{3} }}\)

Pozdrawiam!

ODPOWIEDZ