Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 15:40

Przelicz jeszcze raz \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 15:49

Poprawka*
Dla \(\displaystyle{ P_{1}=(0,0)}\)

\(\displaystyle{ detA\left|\begin{array}{cc}-1&-1\\-1&-1\end{array}\right|= 0}\)- nie można rozstrzygnąć. tak?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 15:54

Sprawdź dokładniej pochodne mieszane. Czy "przypadkiem" się nie wyzerują ?

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 16:13

No fakt, "przypadkiem" się wyzerują . W takim razie \(\displaystyle{ \text{det}A=1>0}\) czyli jest ekstremum.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}(0,0)=-1<0}\)- w tym punkcie funkcja osiąga maksimum.
Hmn, martwi mnie to, że wynik w odpowiedziach jest inny( nadzieja w tym, że w Grzymkowskim zdarzają się błędy:P). Według odpowiedzi funkcja \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(1,-1)}\) osiąga maksimum(\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)). Jeśli to prawda to znaczy, że punkty stacjonarne zostały źle policzone i jest jakiś błąd w pochodnych. Jeszcze raz to przejrzę, jakieś pomysły?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 16:15 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 16:21

Wynik z książki jest poprawny, z tym zastrzeżeniem, że \(\displaystyle{ P(1,1)}\). Sprawdził to za mnie komputer Punkty stacjonarne są źle wyznaczone. Sorry, że dopiero teraz to zauważyłem

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 16:35

Hmn to teraz pytanie czy są tylko źle wyznaczone czy problem leży w pochodnych:P. Jak podstawiłem \(\displaystyle{ P(1,-1)}\) do pochodnych to i tak nie wyszło mi \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 16:36 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 16:36

Jedynym punktem stacjonarnym jest \(\displaystyle{ P(1,1)}\)

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 16:50

Jak wstawisz do drugiej pochodnej po \(\displaystyle{ x}\) współrzędne \(\displaystyle{ (1,1)}\) to nie wyjdzie \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 16:53 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 16:54

A dlaczego ma wyjść jeśli podstawię do drugiej pochodnej?
Przecież to jest wartość ekstremum, a nie drugiej pochodnej.

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 17:11

\(\displaystyle{ f _{max}=f(1,1)=\sqrt{3}}\)- to jest wynik, co to ten \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)?.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 17:13

Jest to wartość ekstremum tej funkcji.
W tym przypadku : maksymalna wartość jaką osiąga ta funkcja.

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 17:16

Sam odpowiem, że to wartość ekstremum:). Hmn a to wartości ekstremum nie wyliczamy z drugiej pochodnej po \(\displaystyle{ x}\);>?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2011, o 17:17 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 17:18

Badając znak pochodnej \(\displaystyle{ f_{xx}^{\prime\prime}}\) ustalamy charakter ekstremum, tzn. czy jest to maksimum czy minimum.

dawid18db
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sie 2011, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: dawid18db » 29 sie 2011, o 17:25

A jak ustalić wartośc ekstremum?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Post autor: ares41 » 29 sie 2011, o 17:26

Po prostu policzyć \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)}\)

ODPOWIEDZ