Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

[Kas1a]

Niech \(\displaystyle{ f_{n} (x) = \frac{1}{ n^{2} } \sqrt{ n^{4} x^{2} +1 } \ \text{dla} \ x \in \mathbb{R}}\). Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną ciągu \(\displaystyle{ (f_{n}) _{n \in \mathbb{N}^{*} }}\)

Zbieżność punktowa to nie problem: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }=x}\)
Nie potrafię sobie poradzić z jednostajną \(\displaystyle{ sup_{x \in R} {\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }-x}}\). Proszę o pomoc:)

[Lorek]

Zbieżność punktowa to nie problem: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }=x}\)

Moim zdaniem to jednak problem, bo wynik zły

[Kas1a]

Przeoczyłam, że to liczby rzeczywiste, więc ma być \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}}\).

I co dalej?

[Lorek]

No nawet dobrze, że zostawiłaś w tej postaci. I dalej przy liczeniu supremum dobrze wejść z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) pod pierwiastek a potem pomnożyć przez sprzężenie.