Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Kas1a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 12 lut 2011, o 09:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

Post autor: Kas1a » 28 sie 2011, o 16:20

Niech \(\displaystyle{ f_{n} (x) = \frac{1}{ n^{2} } \sqrt{ n^{4} x^{2} +1 } \ \text{dla} \ x \in \mathbb{R}}\). Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną ciągu \(\displaystyle{ (f_{n}) _{n \in \mathbb{N}^{*} }}\)

Zbieżność punktowa to nie problem: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }=x}\)
Nie potrafię sobie poradzić z jednostajną \(\displaystyle{ sup_{x \in R} {\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }-x}}\). Proszę o pomoc:)
Ostatnio zmieniony 28 sie 2011, o 17:37 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

Post autor: Lorek » 28 sie 2011, o 16:27

Kas1a pisze: Zbieżność punktowa to nie problem: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ n^{2} }\sqrt{ n^{4} x^{2} +1 }=x}\)
Moim zdaniem to jednak problem, bo wynik zły

Kas1a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 12 lut 2011, o 09:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

Post autor: Kas1a » 28 sie 2011, o 16:54

Przeoczyłam, że to liczby rzeczywiste, więc ma być \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}}\).

I co dalej?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną

Post autor: Lorek » 28 sie 2011, o 17:19

No nawet dobrze, że zostawiłaś w tej postaci. I dalej przy liczeniu supremum dobrze wejść z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) pod pierwiastek a potem pomnożyć przez sprzężenie.

ODPOWIEDZ