Podwójna implikacja?

[perm]

Witam, mam pewien problem - za Chiny nie mogę sobie przypomnieć, co oznacza \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) w wyrażeniu logicznym. Mam zadanie:

\(\displaystyle{ \left[ \left(A \vee B \right) \wedge \left( A \wedge C\right) \right] \Leftrightarrow \left[ A \vee \left( B \wedge C\right) \right]}\)

Generalnie nie mam problemów z rozwiązywaniem tego typu zadań, ale dziwnym trafem akurat podwójnej implikacji (o ile tak to można nazwać - naprawdę nie mam pojęcia) nie miałem na zajęciach, ale pojawiła się na egzaminie.

Proszę o pomoc - co oznacza ten symbol? Może można zastąpić go jakimś innym? Jeżeli jest to jedno z działań w logice, to jakie wartości przyjmują \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) ?

Z góry dziękuję za pomoc

[ares41]

Jest to równoważność.
\(\displaystyle{ w(p \Leftrightarrow q)=1 \text{, gdy } w(p)=w(q)}\)

[perm]

Równoważność? Na ćwiczeniach jako równoważność używaliśmy symbolu \(\displaystyle{ \equiv}\). Ale jak rozumiem jest to to samo?

[ares41]

Nie spotkałem się z takim oznaczeniem równoważności, w ten sposób zwykle oznacza się przystawanie.
Ale jeżeli w ten sposób oznaczaliście relację, dla której prawdziwa jest tabelka:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{tabular}}\)
to jest to właśnie równoważność.

[perm]

Dokładnie tak to wygląda, dziękuję za pomoc

[Adifek]

Nie spotkałem się z takim oznaczeniem równoważności, w ten sposób zwykle oznacza się przystawanie.

Oznaczenie równoważności często spotykane w starszych podręcznikach, ot chociażby we Wstępie do Teorii Mnogości i Topologii Kuratowskiego.
Zwykle w ten sposób oznacza się tożsamościową równość np. \(\displaystyle{ f \equiv 0}\) oznacza funkcję tożsamościowo równą zero, czyli po prostu funkcję stałą równą 0.

[perm]

Żeby nie zakładać kolejnego tematu zapytam w tym. Przykład taki jak w pierwszym poście. Skoro \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) oznacza równoważność, a \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) przyjmują wartości takie jak w tabelce zamieszczonej przez ares41, to jeżeli musimy sprawdzić czy jest to tautologia to za \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 0}\). Ale \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla dwóch różnych wartości \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Które zatem wartości wybrać? Czy jest to obojętne? Czy może trzeba rozważyć dwa przypadki?

[Jan Kraszewski]

jeżeli musimy sprawdzić czy jest to tautologia to za \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 0}\). Ale \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla dwóch różnych wartości \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Które zatem wartości wybrać? Czy jest to obojętne? Czy może trzeba rozważyć dwa przypadki?

Jeżeli chcesz rozumować nie wprost, to musisz rozpatrzyć dwa przypadki i każdy musi zakończyć się sprzecznością.

JK

[perm]

Żadnej takiej informacji nie ma w treści zadania, mam po prostu sprawdzić czy jest to tautologia. Jak zatem powinienem rozumować? Jeżeli nie wprost, to w obu przypadkach formuła musi zawierać sprzeczność, a jeżeli wprost to...?

[Jan Kraszewski]

Oczywiście, że nie ma. Ja starałem się wywnioskować z Twego nie do końca jasnego przekazu, co zamierzasz robić.

Jeśli wprost, to robisz tabelkę...

JK