zbiezność jednostajna

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 27 sie 2011, o 23:33

Cześć ma kłopot z zadaniem:
Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} (x^n - x^{n+1})}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ [0,1]}\) ?
Myślę, że nie. Bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} (x^n - x^{n+1}) = \sum_{n=1}^{} x^n(1-x)}\). Dla \(\displaystyle{ x \in {0,1}}\) suma szeregu wynosi 0, podobnie dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) i \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^-}\)
Proszę o pomoc.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: Rogal » 28 sie 2011, o 00:17

Pomocne jest wyznaczenie funkcji granicznej. W tym przypadku przecież sumujesz szeregi geometryczne ;-).

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 28 sie 2011, o 13:33

Masz na myśli coś takiego ?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x^n(1-x) = \begin{cases} 0, \ \ x\in \left (0;1\right) \\ 0, \ \ x\in \{0,1\} \end{cases}}\)
O to chodziło ?

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 28 sie 2011, o 22:01

Raczej o
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\ldots}\)

Myślę, że najprościej będzie tak

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (x^n - x^{n+1})=x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1}.}\)

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 2 wrz 2011, o 23:26

\(\displaystyle{ x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1} = x - x^{k+1}}\)
To powinno być zbieżne to 0, ale np dla \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) ta suma (przy \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , czyli nie ma zbieżności jednostajnej.

O to chodzi ?

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 2 wrz 2011, o 23:38

Nie o to.

Dlaczego ta suma powinna być zbieżna do \(\displaystyle{ 0}\)?

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 3 wrz 2011, o 11:21

Z zerem bo była pomyłka.

Chodziło mi o to, że jeśli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) to suma dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( bo \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) , a jesli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5}}\) to szereg dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) . Żeby była zbieżność jednostajna, to \(\displaystyle{ x - x^{k+1} \rightarrow g}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) , \(\displaystyle{ g \in \math{R}}\)

Tak ?

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 3 wrz 2011, o 11:31

Tak, ze zbieżności jednostajnej wynika zwykła zbieżność.

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 3 wrz 2011, o 11:51

Czyli to co napisałem jest wystarczająca odpowiedzią na pytanie o zbieżność jednostajną ?.
Tzn. Szereg ten nie jest zbieżny jednostajnie.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 3 wrz 2011, o 11:53

Tylko, że ten szereg jest zbieżny punktowo.

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 3 wrz 2011, o 11:54

W takim razie nie wiem jak to ma być.
Napisałbyś konkretnie jak to pokazać ?
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2011, o 12:10 przez skolukmar, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 3 wrz 2011, o 11:56

Chyba żeśmy się nie dogadali. Nie widzę żebyś udowodnił, że ten szereg nie jest zbieżny jednostajnie.-- 3 wrz 2011, o 14:07 --Np. wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x-x^{n+1})_n}\) są funkcjami ciągłymi na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Co powiesz o granicy ciągu funkcji ciągłych zbieżnego jednostajnie?

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: skolukmar » 3 wrz 2011, o 14:41

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } (x-x^{n+1})_n = \begin{cases} x \ \ \ \ \ , \ x\not\in \{0,1\} \\ 0 \ \ \ \ \ , \ 0 < x < 1 \end{cases}}\)

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

zbiezność jednostajna

Post autor: fon_nojman » 3 wrz 2011, o 16:24

Raczej
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } (x-x^{n+1}) = \begin{cases} x \ \ \ \ \ , \ 0 \le x < 1 \\ 0 \ \ \ \ \ , \ x = 1 \end{cases}}\)
ale i tak to nie jest odpowiedz na moje pytanie.

ODPOWIEDZ