Zbieżność szeregu zależna od parametru

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Zbieżność szeregu zależna od parametru

Post autor: skolukmar » 27 sie 2011, o 23:08

Cześć,
Proszę o pomoc w zadaniu: Znaleźć p dla którego szereg będzie zbieżny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} \frac{\ln(1+n^p)}{n^p}}\)
Bardzo proszę o wskazówki.
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 23:31 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nowe zadanie - załóż nowy temat.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbieżność szeregu zależna od parametru

Post autor: Lorek » 28 sie 2011, o 10:21

Wskazówka 1.: dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln (1+n^p)\approx \ln n^p=p\ln n}\)

Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Zbieżność szeregu zależna od parametru

Post autor: fon_nojman » 28 sie 2011, o 10:47

Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)
Lorek pisze:Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)
Jak to zastosować do rozwiązania?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbieżność szeregu zależna od parametru

Post autor: Lorek » 28 sie 2011, o 10:59

fon_nojman,
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Zbieżność szeregu zależna od parametru

Post autor: fon_nojman » 28 sie 2011, o 14:23

skolukmar w pw pisze:Dzięki za odpowiedź w poście ale nie do końca rozumie.

Z jakiego kryterium mam skorzystać ? Porównawczego, ilorazowego ?
Jak mam z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) ?

Tytuł: Zbieżność szeregu zależna od parametru
fon_nojman pisze:Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)
Lorek pisze:Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)
Jak to zastosować do rozwiązania?
Korzystasz z kryterium porównawczego. Dla jakich \(\displaystyle{ p}\) szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\) jest rozbieżny? Skorzystaj z własności logarytmu.

ODPOWIEDZ