wartość najmniejsza i największa

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
withdrawn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 282
Rejestracja: 20 lip 2009, o 16:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

wartość najmniejsza i największa

Post autor: withdrawn » 27 sie 2011, o 22:26

Wyznaczyć najmniejsza i największą wartość funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{4} + y^{4} + 2(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)}\) na kwadracie \(\displaystyle{ K = {(x,y) : x,y \in [-1,1])}\). Wyznaczyć wszystkie punkty kwadratu, w których wartości najmniejsza i największa są osiągane.

Generalnie ruszyłam to zadanko,ale nie wiem czy dobrze robię. Proszę więc o sprawdzenie i wskazówki jeśli pominęłam jakieś punkty i nie sprawdziłam czy jest w nich ekstremum.

Krok 1:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{4} + y^{4} + 2(x-1)(x+1)(y-1)(y+1) = (x^{2}+y^{2})^{2} - 2(x^{2}+y^{2} -1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x} = 4x^{3} + 4xy^{2} - 4x = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y} = 4y^{3} + 4yx^{2} - 4y = 0}\)
stą punkty krytyczne to: \(\displaystyle{ (x,y) = (0,0)}\) punkt ten nalezy do wnetrza kwadratu wiec moge liczyc wartosc funkcji, czyli \(\displaystyle{ f(0,0)=2}\) wyliczajac punkty krytyczne otrzymałam również wniosek że \(\displaystyle{ y^{2} = 1 - x^{2}}\) i licząc wartość funkcji w tym punkcie , mianowicie \(\displaystyle{ f(x,1-x^{2})= ... = 1}\)

Krok 2:
\(\displaystyle{ x=-1}\) oraz \(\displaystyle{ y\in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ f(-1,y) = y^{4} + 1}\)
powinnam liczyc pochodną ?
dalej
\(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ y\in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ f(1,y) = y^{4}+1}\)
dalej
\(\displaystyle{ y=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ f(x,-1) = ... = x^{4}+1}\)
dalej
\(\displaystyle{ y=1}\) oraz \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ f(x,1) = ... = x^{4}+1}\)

Krok 3:
\(\displaystyle{ f(-1,1) = 2}\)
\(\displaystyle{ f(-1,-1) = 2}\)
\(\displaystyle{ f(1,1) = 2}\)
\(\displaystyle{ f(-1,-1) = 2}\)

CZY POMINELAM JAKIES PUNKTY? CZY POWINNAM LICZYC NA KONKRETNYCH PRZEDZIALACH W KROKU 2 POCHODNE,BY WYZNACZYC ODPOWIEDNIO X I Y ? I DALEJ WARTOSC FUNKCJI W DANYCH PUNKTACH.

Czy odpowiedz do zadania to:
wartosc najmniejsza:1
wartość najwieksza: 2

proszę o pomoc;)

tito1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 23 maja 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 7 razy

wartość najmniejsza i największa

Post autor: tito1977 » 28 sie 2011, o 08:37

withdrawn pisze: Generalnie ruszyłam to zadanko,ale nie wiem czy dobrze robię. Proszę więc o sprawdzenie i wskazówki jeśli pominęłam jakieś punkty i nie sprawdziłam czy jest w nich ekstremum.

CZY POMINELAM JAKIES PUNKTY? CZY POWINNAM LICZYC NA KONKRETNYCH PRZEDZIALACH W KROKU 2 POCHODNE,BY WYZNACZYC ODPOWIEDNIO X I Y ? I DALEJ WARTOSC FUNKCJI W DANYCH PUNKTACH.
Szukanie wartości największej i najmniejszej w danym obszarze, to nie jest to samo co szukanie ekstremum funkcji, tam gdzie funkcja osiąga ekstremum nie musi być ( ale może ) wartość największa i najmniejsza. Krok 2 należy wykonać

ODPOWIEDZ