Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
celtrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 23 sie 2011, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: celtrun » 27 sie 2011, o 20:43

\(\displaystyle{ \zeta (z) = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{z}}}\)
Jak ją czytać? Prosiłbym o to by ktoś, jeśli by mógł, żeby dla każdego pojedynczego symbolu w tej funkcji dać jakiś krótki opis. Patrzałem co prawda na wiki na listę symboli matematycznych ale nie czuję tego jeszcze. Opisy z wiki słabo mnie satysfakcjonują.

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: Adifek » 27 sie 2011, o 20:49

\(\displaystyle{ \zeta (z) = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{z}} = \frac{1}{1^{z}}+ \frac{1}{2^{z}} + \frac{1}{3^{z}}+ \frac{1}{4^{z}}+ \frac{1}{5^{z}} + ...}\)

Tu nie ma co wyjaśniać... Ot taka sobie funkcja zdefiniowana odpowiednim szeregiem funkcyjnym, czyli taką nieskończoną sumą.

celtrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 23 sie 2011, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: celtrun » 27 sie 2011, o 21:03

Dziękuję. Takiego właśnie wyjaśnienie potrzebowałem. Ale jeszcze zapytam, n=1 znaczy, że dla każdego kolejnego elementu sumy liczba w mianowniku będzie większa o 1 w porównaniu z elementem poprzednim, o ile rozważany element nie jest pierwszym elementem tej sumy?

Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: zidan3 » 27 sie 2011, o 21:29

\(\displaystyle{ n=1}\)
to znaczy, że zaczynamy sumować od \(\displaystyle{ n=1}\)
a nie np. \(\displaystyle{ \frac{1}{10^z}+ \frac{1}{11^z} +...}\)

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: Adifek » 27 sie 2011, o 21:31

Najłatwiej wytłumaczę Ci to na przykładach

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+(n-1)+n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{l=5}^{m}a^{l}=a^{5}+a^{6}+a^{7}+...+a^{m}}\)

Czyli za indeks 'biegający' (ten na dole) podstawiamy kolejne liczby naturalne, zaczynając od tej na dole a kończąc na tel liczbie u góry. Oczywiście, gdy mamy nieskończoność, to suma się nie kończy.

Możemy także pisać troszkę inaczej. Niech \(\displaystyle{ (p_{n})}\) oznacza ciąg liczb pierwszych, a więc \(\displaystyle{ p_{1}=2}\), \(\displaystyle{ p_{2}=3}\), \(\displaystyle{ p_{3}=5}\), \(\displaystyle{ p_{4}=7}\), ...
Wówczas zapis

\(\displaystyle{ \sum_{n: 11<p_{n} \le 37}p_{n}= 13+17+19+23+29+31+37}\)

Oznacza po prostu sumę liczb pierwszych większych od 11 i mniejszych lub równych 37.
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 21:39 przez Adifek, łącznie zmieniany 2 razy.

micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: micha?3141 » 27 sie 2011, o 21:33

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}}\)
Tak to działa.

celtrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 23 sie 2011, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Jak rozumieć symbole w funkcji zeta Riemanna?

Post autor: celtrun » 27 sie 2011, o 21:54

Dziękuję Wam wszystkim.
zidan3 za wytłumaczenie czym jest n.
Adifek za przykłady. Zawsze najlepiej mi coś zrozumieć po przykładach.
michał3141 za przejrzysty przykład "działania"
A teraz sobie to wszystko pokminię dla głębszego zrozumienia.

ODPOWIEDZ