zbieżność bezwzględna

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kamilrun » 27 sie 2011, o 19:24

Witam, chciałem Was zapytać o zadanie gdzie mam zbadać zbieżność bezwzględną szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\)

Nie wiem jak sobie z tym poradzić.. Co zmieni mi ta w.b. i jak to zbadać.

Proszę o jakąś pomoc.
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 19:25 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kolorowe skarpetki » 27 sie 2011, o 19:57

Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.

Jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny, a szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest rozbieżny, to mówimy, że szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest warunkowo zbieżny.

Badasz bezwzględną zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\), a zatem zaczynasz od zbadania szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\). Jeżeli będzie zbieżny, to Twój szereg będzie zbieżny bezwzględnie. Jeżeli będzie rozbieżny, to trzeba zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\) z kryterium Leibniza. Gdy będzie zbieżny, tzn. , że jest zbieżny warunkowo.

Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kamilrun » 28 sie 2011, o 10:39

Napisałaś, że zaczynam od zbadania szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\) i jeżeli będzie on zbieżny to cały szereg jest zbieżny bezwzględnie - dlaczego? Czemu tylko ten szereg decyduje już o zbieżności bezwzględnej całości?

abc666

zbieżność bezwzględna

Post autor: abc666 » 28 sie 2011, o 12:12

kolorowe skarpetki pisze:Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.
Taka jest definicja.

Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kamilrun » 28 sie 2011, o 14:21

Chodziło mi o to dlaczego tam było napisane, że tylko szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\), a nie cały: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\) ??

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kolorowe skarpetki » 28 sie 2011, o 14:45

A ile wynosi wartość bezwzględna z Twojego \(\displaystyle{ a_n?}\)

Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kamilrun » 29 sie 2011, o 10:24

Aha, czyli z tej racji, że za naszą wartość bezwzględną "odpowiada" to \(\displaystyle{ (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}\), to jakby już opuszczając tą w.b. zostaje nam do określenia samo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{3^n}}\) ?

kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

zbieżność bezwzględna

Post autor: kolorowe skarpetki » 29 sie 2011, o 10:33

Badamy zbieżność bezwzględną szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\).

Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.

Zgodnie z definicją musimy zbadać zbieżność szeregu, którego wyrazami są : \(\displaystyle{ \vert a_n \vert}\).

\(\displaystyle{ \vert a_n \vert=\vert \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n} \vert =\vert \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \vert \cdot \vert \frac{1}{3^n}\vert =\frac{1}{3^n}}\)

-1 do potęgi,która nie jest zerem, może nam dać : -1,1. Wartość bezwzględna każdego z tych wyników to 1.

ODPOWIEDZ