zbieżność bezwzględna

[kamilrun]

Witam, chciałem Was zapytać o zadanie gdzie mam zbadać zbieżność bezwzględną szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\)

Nie wiem jak sobie z tym poradzić.. Co zmieni mi ta w.b. i jak to zbadać.

Proszę o jakąś pomoc.

[kolorowe skarpetki]

Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.

Jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny, a szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest rozbieżny, to mówimy, że szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest warunkowo zbieżny.

Badasz bezwzględną zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\), a zatem zaczynasz od zbadania szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\). Jeżeli będzie zbieżny, to Twój szereg będzie zbieżny bezwzględnie. Jeżeli będzie rozbieżny, to trzeba zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\) z kryterium Leibniza. Gdy będzie zbieżny, tzn. , że jest zbieżny warunkowo.

[kamilrun]

Napisałaś, że zaczynam od zbadania szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\) i jeżeli będzie on zbieżny to cały szereg jest zbieżny bezwzględnie - dlaczego? Czemu tylko ten szereg decyduje już o zbieżności bezwzględnej całości?

[abc666]

Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.

Taka jest definicja.

[kamilrun]

Chodziło mi o to dlaczego tam było napisane, że tylko szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}}\), a nie cały: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\) ??

[kolorowe skarpetki]

A ile wynosi wartość bezwzględna z Twojego \(\displaystyle{ a_n?}\)

[kamilrun]

Aha, czyli z tej racji, że za naszą wartość bezwzględną "odpowiada" to \(\displaystyle{ (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}\), to jakby już opuszczając tą w.b. zostaje nam do określenia samo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{3^n}}\) ?

[kolorowe skarpetki]

Badamy zbieżność bezwzględną szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n}}\).

Mówimy, że szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtw. gdy szereg \(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert}\) jest zbieżny.

Zgodnie z definicją musimy zbadać zbieżność szeregu, którego wyrazami są : \(\displaystyle{ \vert a_n \vert}\).

\(\displaystyle{ \vert a_n \vert=\vert \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \cdot \frac{1}{3^n} \vert =\vert \left( -1 \right) ^{\frac{n \left( n+1 \right) }{2}} \vert \cdot \vert \frac{1}{3^n}\vert =\frac{1}{3^n}}\)

-1 do potęgi,która nie jest zerem, może nam dać : -1,1. Wartość bezwzględna każdego z tych wyników to 1.