[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: justynian » 27 sie 2011, o 17:55

siemka, nie za bardzo nawet na pałe wychodzi:

\(\displaystyle{ 2 \left( \frac {a^3}{b + c} +\frac {b^3}{c + a} +\frac {c^3}{a + b} \right) + \left( a + b + c \right) ^2 >4 \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)}\)
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 18:17 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

MateuszL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice
Pomógł: 3 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: MateuszL » 27 sie 2011, o 19:09

Było kiedyś na forum.
hint
Ukryta treść:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: kaszubki » 27 sie 2011, o 19:11

justynian pisze:siemka, nie za bardzo nawet na pałe wychodzi
No to chyba kiepsko sprawdzałeś. Po wymnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ (a+b)(a+c)(b+c)}\) dostajemy równoważną nierówność \(\displaystyle{ \sum 3a(a^4 + c^2 b^2) \geq \sum (a+b+c)(a^4 + c^2 b^2)}\), a to są po prostu ciągi jednomonotoniczne.

justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: justynian » 27 sie 2011, o 20:11

kaszubki pisze:
justynian pisze:siemka, nie za bardzo nawet na pałe wychodzi
No to chyba kiepsko sprawdzałeś. Po wymnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ (a+b)(a+c)(b+c)}\) dostajemy równoważną nierówność \(\displaystyle{ \sum 3a(a^4 + c^2 b^2) \geq \sum (a+b+c)(a^4 + c^2 b^2)}\), a to są po prostu ciągi jednomonotoniczne.
racja ale to dopiero po otwarciu wszystkiego ...
MateuszL pisze:Było kiedyś na forum.
hint
Ukryta treść:    
masz linka czy z pamięci bo nie widzę co to da ?

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: timon92 » 27 sie 2011, o 21:00

przez \(\displaystyle{ \sum}\) oznaczam sumę cykliczną

mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ \sum ab}\) i zapisujemy tak:

\(\displaystyle{ \left( \sum \frac{a^3}{b+c} \right)\left(\sum a(b+c) \right) + \left( \sum a \right) ^2 \left( \sum ab \right) - 4 \cdot \left( \sum a^2 \right) \left( \sum ab \right) \ge 0}\)

ze schwarza pierwszy iloczyn szacujemy przez \(\displaystyle{ \left( \sum a^2 \right)^2}\), wystarczy więc pokazać, że \(\displaystyle{ \left( \sum a^2 \right)^2 + \left( \sum a \right) ^2 \left( \sum ab \right) - 4 \cdot \left( \sum a^2 \right) \left( \sum ab \right) \ge 0}\), a to się zwija do \(\displaystyle{ \left( \sum a^2 - \sum ab \right) \left( \sum a^2 + 3 \sum ab \right) \ge 0}\)

MateuszL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice
Pomógł: 3 razy

[Nierówności] Nierówność dla dodatnich

Post autor: MateuszL » 27 sie 2011, o 23:51

justynian pisze:
MateuszL pisze:Było kiedyś na forum.
hint
Ukryta treść:    
masz linka czy z pamięci bo nie widzę co to da ?
Nie mam linka, nie jestem w stanie określić w jakim temacie i ile dokładnie czasu temu tu to było, w każdy razie na wiosnę. Dokładniejszy hint (właściwie szkic rozwiązania):
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ