Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Anal_Iza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 6 lip 2011, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brzesko
Podziękował: 3 razy

Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Post autor: Anal_Iza » 27 sie 2011, o 17:22

Witam,

mam takie dosyć nurtujący mnie problem. Otóż wiem, jak sprowadzać coś do szeregu jakiegoś tam za pomocą pochodnych, ale jeżeli mamy funkcję postaci:

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1 + x}}\)

Chodzi mi o to że to jest przecież iloczyn dwu funkcji, które "mają własne" znane szeregi Taylora (tudzież Maclaurina). Czy nie da się bez użycia pochodnych (albo z ich zmniejszeniem) to łatwo obliczyć (korzystając oczywiście z rozwinięć części tego szeregu - \(\displaystyle{ \cos}\) oraz \(\displaystyle{ (x + 1)^{-1}}\)?

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Post autor: Piotr Pstragowski » 27 sie 2011, o 17:35

No pewnie. Masz to tu http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series, pod "Ring structure" jest wzór na mnożenie.

(W szczególności, do manipulacji szeregami (różniczkowanie, mnożenie, dodawanie) zbieżność jest zupełnie nieistotna.)

Anal_Iza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 6 lip 2011, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brzesko
Podziękował: 3 razy

Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Post autor: Anal_Iza » 27 sie 2011, o 22:31

Czy aby to nie było mnożenie szeregów Caughy'ego? ;)

A czy mógłbyś mi pokazać na tym przykładzie jak to się robi?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Post autor: Adifek » 28 sie 2011, o 00:35

Ja kombinowałem tak:

\(\displaystyle{ \cos x = (1+x)\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\\ \\ 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+a_{n-1})x^{n}\\ \\ 1+\sum_{n=2k}^{\infty} \frac{(-1)^{2k+k}x^{n}}{n!}+ \sum_{n=2k+1}^{\infty}0x^{n}= a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+a_{n-1})x^{n}\\}\)

Stąd mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1\\a_{2k}+a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k+k}}{(2k)!} \\a_{2k-1}-a_{2k-2}=0 \end{cases}}\)

Nic mi z tej rekurencji nie wyszło sensownego oprócz kilku początkowych wyrazów...

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1+x}=1-x+ \frac{1}{2}x^{2}- \frac{1}{2}x^{3}+ \frac{13}{24}x^{4}- \frac{13}{24}x^{5}+ \frac{389}{720}x^{6}+...}\)

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Czy da się sprytnie liczyć iloczyn dwu szeregów funkcyjnych?

Post autor: Piotr Pstragowski » 2 wrz 2011, o 01:30

Dokładnie, to jest iloczyn Cauchy'ego szeregów. Jeśli dobrze pamiętam, to na analizie dowodzi się twierdzenie, że jeśli oba szeregi są bezwzględnie zbieżne, to iloczyn Cauchy'ego zbiega do iloczynu granic. Ale szeregi potęgowe są bezwzględnie zbieżne w swoim promieniu zbieżności.

A co do Twoich obliczeń, to niestety nie znam żadnych dobrych metod na dzielenie szeregów. Zawsze liczyłem na palcach, tak jak Ty i to zwykle wystarczało do oszacowania np. drugiej pochodnej...

ODPOWIEDZ