Dowód wzorów trygonometrycznych sumy i różnicy

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Dowód wzorów trygonometrycznych sumy i różnicy

Post autor: kamil13151 » 27 sie 2011, o 16:39

Zaciekawiło mnie skąd się wzięły wzory funkcji trygonometrycznych sumy i różnicy, próbowałem je udowodnić, ale nie mam pomysłu.

Tak więc jak udowodnić wzór:
\(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y}\)

Dla kątów z przedziału \(\displaystyle{ (0;\pi)}\) łatwo udowodnić, wystarczy wykorzystać, że \(\displaystyle{ x+y=180-z}\), \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin(180-z)=\sin z}\) i wyjdzie \(\displaystyle{ L=P}\). Jak dla pozostałych kątów?

Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

Dowód wzorów trygonometrycznych sumy i różnicy

Post autor: Erurikku » 27 sie 2011, o 16:59

\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha + \beta \right) =\cos \left[ \left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) - \beta \right]}\)
Teraz użyjmy wzoru na cosinus różnicy kątów (wysłałem Ci na priv link do strony, gdzie jest wyprowadzony ten wzór). Wszystko ładnie się upraszcza i wychodzi.
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 18:34 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 603 razy

Dowód wzorów trygonometrycznych sumy i różnicy

Post autor: Igor V » 27 sie 2011, o 17:00

Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 19:09 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczanie linków do stron konkurencyjnych. Złamanie pkt. III.6.7 Regulaminu

ODPOWIEDZ