Matematyka.pl

Mam takie równanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=\cos(x-y)}\)

nie wiem jak się za nie zabrać i tej postaci tutaj \(\displaystyle{ f(x)=ax+by+c}\) tez za bardzo nie widze.. bardzo proszę o pomoc bo zatrzymałam się w miejscu i nie mogę dalej z przykładami ruszyć

i wskazówki do tych dwóch przykładów jeszcze by mi się przydały (reszta w poleceniu jest już analogiczna)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (8x+2y-3)^{2}}\)

i taki jeszcze:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (x-y)^{2}+1}\) *poprawiony zapis

Podstawiasz nową zmienną : \(\displaystyle{ z=ax+by+c}\), różniczkujesz \(\displaystyle{ z'=a+by'}\) i wyliczasz \(\displaystyle{ y'}\). Wstawiasz \(\displaystyle{ z}\) i obliczone \(\displaystyle{ y'}\) do równania i otrzymujesz równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład 1 : \(\displaystyle{ z=x-y}\),
Przykład 2 : \(\displaystyle{ z=8x+2y-3}\),
Przykład 3 : coś tu jest nie tak, dwa razy \(\displaystyle{ =}\).

zaczęłam liczyć przykład 1, podstawiam wszystko tak jak wyżej jest napisane, ale nie bardzo wiem co w ktorym momencie do czego podstawić ;/

w pewnym momencie na końcu wychodzi całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{ \frac{cosz-1}{cosz} }}\) wiec jakies bzdury kompletne... ;/;/ moglby ktos opisac to krok po kroku?

oto krok po kroku jak liczyłam drugi przykład, bardzo proszę o pokazanie w którym momencie robię błąd i jak rozwiązać to poprawnie, wiem, że w ktorymś momencie do tego kwadratu muszę wrócić ale nie wiem kiedy:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (8x+2y-2)^{2}


u=8x+2y-3


\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}= 8+2\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }


\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4



\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4= f(u)}\)

od tego momentu myślę , że mam błąd , co konkretnie mam podstawić za f(u)? czy jakos to inaczej oznaczać?

Prosilabym kogoś o poprawe zapisu du/dx to jedynie ulamek, nie umiem napisać formuły tak żeby to dorbze wyglądało, a w ostatnim 1/2 jest jedynie ulamkiem , ta dluga kreska niepotrzebna-- 27 sie 2011, o 16:24 --i jeszcze taki przykład jednorodnego:

\(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=2xy \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)

Najpierw dziele obustronnie przez 2xy, następnie podstawiam
\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x} \Rightarrow y=x \cdot u}\) iloczyn rozniczkuje: \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } +u}\) dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }+u= \frac{1}{2}u+ \frac{1}{2u}}\)

z takiej postaci próbuje rozdzielić zmienne ale wychodzi mi jedynie coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{u}{2 \mbox{d}u }- \frac{1}{2u \mbox{d}u } = - \frac{x}{ \mbox{d}x }}\)

nie wiem co z tym zrobić. Wydaje mi się, że w każdym przykładzie popełniam bardzo podobny błąd....

Przykład 2 : Całkę po lewej stronie można rozwiązać za pomocą \(\displaystyle{ arc tg}\), za pomocą podstawienia.

W przykładzie 1 dochodzimy do postaci : Całkę po lewej można rozwiązać za pomocą tzw. uniwersalnego podstawienia, na pewno była omawiana przy całkach z funkcji trygonometrycznych.-- 27 sie 2011, o 16:41 -- Całkujemy stronami, całka po lewej przez podstawienie. Proszę policzyć całki i spróbować wrócić do podstawienia.

Bardzo dziękuję za pomoc, tamtą postać już rozumiem i inne przykłady też dobrze mi powychodziły

po scałkowaniu wychodzi mi :

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln\left| 1-z ^{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \ln x+C}\)

dalej przenosze logarytmy na druga strone, mnoze razy (-1) i korzystając z własności logarytmu wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left| \left( 1-z ^{2} \right)x \right|=-C}\)

wykonuje dalsze obliczenia ale odp. w ksiązce jest inna \(\displaystyle{ y=C \cdot e ^{ \frac{y}{x} }}\)
z tej postaci którą napisałam wyżej nie mogę do tego dojść... ;/

Jeżeli chodzi o równanie: \(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=2xy \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)
Możemy od razu podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\)
Po przekształceniach otrzymamy następujące całki:
\(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \frac{u \mbox{d}u }{1 - u ^{2} } = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
Rozwiązaniami całek są funkcje:
\(\displaystyle{ - \ln \left| u ^{2} - 1 \right| = \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ u ^{2} - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y ^{2} }{x ^{2} } - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
Po przekształceniach dojdziemy do postaci ostatecznej:
\(\displaystyle{ y(x) = \sqrt{x \left( C _{1} + x \right) }}\)

Pozdrawiam!

a powiedzcie mi, jak wyznaczyć z tego u ?

\(\displaystyle{ arctg \frac{u}{ \sqrt{2} }=2 \sqrt{2}x +C}\)

czy to robimy na takiej zasadzie, licznik wartości arctg = mianownik * tg|cala prawa strona równania| ?

Jeszcze jedno równanie (nie zgadza się wynik z odpowiedzią, a liczę 3 raz te przykład.. )
\(\displaystyle{ (x^{2}+2xy) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y^{2}}\)

po podstawieniach itp. dochodzę do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u }{\mbox{d}x} (1+2u) \cdot x^{3} + x^{2}u(1+u)=0}}\)

dalej rozdzielam zmienne i wychodzi mi:

\(\displaystyle{ ln|u|+ln|x|=C}\) gdzie: \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\)

ostatecznie:

\(\displaystyle{ y= e^{c}}\)


w książce odp. jest taka: \(\displaystyle{ y^{2}+xy=C}\)

\(\displaystyle{ (x^2+2xy) \frac{dy}{dx}=y^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2+2xy}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2(1+2 \cdot \frac{y}{x})}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\left (\frac{y}{x} \right )^2 \cdot \frac{1}{1+2 \cdot \frac{y}{x}}}\)
Po podstawieniu :
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{dz}{dx}+z=\frac{z^2}{2z+1}}\)
Rozdzielamy zmienne i wracamy do podstawienia...

\(\displaystyle{ arctg \frac{u}{ \sqrt{2} }=2 \sqrt{2}x +C}\)
Istnieje taka zależność między funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi (do nich odwrotnych):
\(\displaystyle{ arctg (x) = y}\) ,gdy \(\displaystyle{ \tg (y) = x}\)
Należy jednak pamiętać o ograniczeniach, jakie niesie funkcja arkus tangens:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Stosujemy to do naszego przypadku... otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } = \tg (2x \sqrt{2} + C )}\)
\(\displaystyle{ u = \tg (2x \sqrt{2} + C ) \cdot \sqrt{2}}\)
dla:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)

Pozdrawiam!