rozkładanie czekolad do szuflad

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
mala_mi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 12 lis 2009, o 19:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mala_mi » 26 sie 2011, o 19:33

Na ile sposobów można włożyć \(\displaystyle{ 9}\) czekolad do \(\displaystyle{ 3}\) szuflad tak, żeby żadna szuflada nie była pusta?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 19:33 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 26 sie 2011, o 19:37

Najpierw musisz wybrać \(\displaystyle{ 3}\) czekolady spośród \(\displaystyle{ 9}\), które będą realizowały warunek
(...)żeby żadna szuflada nie była pusta
Pozostałe czekolady można rozmieścić dowolnie.

mala_mi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 12 lis 2009, o 19:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mala_mi » 26 sie 2011, o 19:42

Czyli rozumiem, że rozpatruje tak jakby rozłożenie \(\displaystyle{ 6}\) czekolad do \(\displaystyle{ 3}\) szuflad? I mam \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\)?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 26 sie 2011, o 19:55

A dlaczego \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\) ?

mala_mi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 12 lis 2009, o 19:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mala_mi » 26 sie 2011, o 20:00

Bo robię sposobem, który mieliśmy na zajęciach i wtedy wynik to właśnie \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\).

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 27 sie 2011, o 07:57

Raczej nie. Możesz to potraktować w ten sposób, że każdej z tych czekolad (z tych pozostałych sześciu) przypisujemy dokładnie jedną szufladę. A więc tworzymy ciąg sześciowyrazowy z elementów zbioru trójelementowego. Ile istnieje takich ciągów?

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mat_61 » 27 sie 2011, o 08:19

ares41 pisze:A więc tworzymy ciąg sześciowyrazowy z elementów zbioru trójelementowego. Ile istnieje takich ciągów?
Skoro piszesz o tworzeniu ciągu to zakładasz, że czekolady są rozróżnialne. Jeżeli tak, to podany przez Ciebie sposób nie jest dobry bo liczysz wielokrotnie te same warianty.

Wybór 3 czekolad do pudełek A, B, C może być np. taki:
A-3
B-5
C-9

A rozdział pozostałych, taki:
A-1,2
B-4,6,7
C-8

Ale może być też tak:

Wybór 3 czekolad do pudełek A, B, C może być np. taki:
A-2
B-5
C-8

A rozdział pozostałych, taki:
A-1,3
B-4,6,7
C-9

Jak widać, w obydwu wariantach w pudełkach A, B i C są takie same czekoladki.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 27 sie 2011, o 08:30

No tak, racja. Miałem zamiar potem odjąć przypadki powtarzające się, ale widzę teraz, że szybciej będzie policzyć najpierw takie rozmieszczenia, w których dopuszczamy możliwość tego, że któraś z szuflad będzie pusta, a potem od tego odjąć liczbę tych przypadków, w których co najmniej jedna z szuflad jest pusta.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mat_61 » 27 sie 2011, o 08:36

Z treści zadania nie jest do końca jasne czy to są różne czekolady czy nie.

Zakładając, że czekolady i pudełka są rozróżnialne, to wg mnie wystarczy obliczyć ile jest wszystkich 9-elementowych ciągów utworzonych ze zbioru 3-elementowego.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 27 sie 2011, o 08:41

Nie do końca, bo wśród takich ciągów istnieje taki, w którym każdej z czekolad przyporządkowujemy np. pierwszą szufladę, więc dwie spośród tych szuflad są puste. Musimy jeszcze odjąć te przypadki, w których co najmniej jedna z szuflad jest pusta.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mat_61 » 27 sie 2011, o 08:55

Rzeczywiście przegapiłem konieczność uwzględnienia przypadków z pustymi szufladami (jedną lub dwoma).

mala_mi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 12 lis 2009, o 19:44
Płeć: Kobieta
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: mala_mi » 27 sie 2011, o 20:48

Czy mogę poprosić jaśniej? ;p Bo liczyliśmy to na zajęciach i wynik wyszedł taki jak podałam, co wydawało mi się logiczne.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

rozkładanie czekolad do szuflad

Post autor: ares41 » 27 sie 2011, o 21:31

W takim razie pokaż jak liczyliście na zajęciach, bo bez tego ciężko będzie sprawdzić, czy ta metoda jest poprawna.

ODPOWIEDZ